Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29207 / 19213
↖ ↑ ↗
← N 59.498092°
W 19.561157°		 ← 310.02 m → N 59.498092°
W 19.555664°		 →
↑
310.08 m
↓
↑
310.08 m
↓
N 59.495303°
W 19.561157°		 ← 310.04 m →
96 133 m²		 N 59.495303°
W 19.555664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445671081542969 y=0.293174743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445671081542969 × 216)
    floor (0.445671081542969 × 65536)
    floor (29207.5)     		tx = 29207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293174743652344 × 216)
    floor (0.293174743652344 × 65536)
    floor (19213.5)     		ty = 19213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29207 / 19213 ti = "16/29207/19213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29207/19213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29207 ÷ 216
    29207 ÷ 65536     		x = 0.445663452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19213 ÷ 216
    19213 ÷ 65536     		y = 0.293167114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445663452148438 × 2 - 1) × π
    -0.108673095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34140660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293167114257812 × 2 - 1) × π
    0.413665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29956934869972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34140660} λ = -0.34140660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29956934869972))-π/2
    2×atan(3.66771682044427)-π/2
    2×1.30461696122187-π/2
    2.60923392244374-1.57079632675     		φ = 1.03843760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34140660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.561157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03843760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.498092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29207 KachelY 19213 -0.34140660 1.03843760 -19.561157 59.498092
    Oben rechts KachelX + 1 29208 KachelY 19213 -0.34131073 1.03843760 -19.555664 59.498092
    Unten links KachelX 29207 KachelY + 1 19214 -0.34140660 1.03838893 -19.561157 59.495303
    Unten rechts KachelX + 1 29208 KachelY + 1 19214 -0.34131073 1.03838893 -19.555664 59.495303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03843760-1.03838893) × R
    4.86699999999729e-05 × 6371000     		dl = 310.076569999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03843760-1.03838893) × R
    4.86699999999729e-05 × 6371000     		dr = 310.076569999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34140660--0.34131073) × cos(1.03843760) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.507567059183797 × 6371000     		do = 310.015752204323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34140660--0.34131073) × cos(1.03838893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.507608993251146 × 6371000     		du = 310.041365019806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03843760)-sin(1.03838893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507567059183797-0.507608993251146)×R²
    abs(-0.34131073--0.34140660)×4.1934067349314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.1934067349314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.1934067349314e-05×40589641000000     		ar = 96132.5920757284m²