Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29206 / 40792
↖ ↑ ↗
← S 40.279525°
W 19.566650°		 ← 465.97 m → S 40.279525°
W 19.561157°		 →
↑
465.97 m
↓
↑
465.97 m
↓
S 40.283716°
W 19.566650°		 ← 465.94 m →
217 123 m²		 S 40.283716°
W 19.561157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445655822753906 y=0.622444152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445655822753906 × 216)
    floor (0.445655822753906 × 65536)
    floor (29206.5)     		tx = 29206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622444152832031 × 216)
    floor (0.622444152832031 × 65536)
    floor (40792.5)     		ty = 40792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29206 / 40792 ti = "16/29206/40792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29206/40792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29206 ÷ 216
    29206 ÷ 65536     		x = 0.445648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40792 ÷ 216
    40792 ÷ 65536     		y = 0.6224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445648193359375 × 2 - 1) × π
    -0.10870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34150247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6224365234375 × 2 - 1) × π
    -0.244873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.769291365102661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34150247} λ = -0.34150247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769291365102661))-π/2
    2×atan(0.463341291810935)-π/2
    2×0.433892991374657-π/2
    0.867785982749315-1.57079632675     		φ = -0.70301034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34150247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.566650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70301034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.279525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29206 KachelY 40792 -0.34150247 -0.70301034 -19.566650 -40.279525
    Oben rechts KachelX + 1 29207 KachelY 40792 -0.34140660 -0.70301034 -19.561157 -40.279525
    Unten links KachelX 29206 KachelY + 1 40793 -0.34150247 -0.70308348 -19.566650 -40.283716
    Unten rechts KachelX + 1 29207 KachelY + 1 40793 -0.34140660 -0.70308348 -19.561157 -40.283716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70301034--0.70308348) × R
    7.31400000000271e-05 × 6371000     		dl = 465.974940000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70301034--0.70308348) × R
    7.31400000000271e-05 × 6371000     		dr = 465.974940000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34150247--0.34140660) × cos(-0.70301034) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.762899410387429 × 6371000     		do = 465.969629604843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34150247--0.34140660) × cos(-0.70308348) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.762852122078929 × 6371000     		du = 465.940746484346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70301034)-sin(-0.70308348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762899410387429-0.762852122078929)×R²
    abs(-0.34140660--0.34150247)×4.72883085006481e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72883085006481e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72883085006481e-05×40589641000000     		ar = 217123.440888914m²