Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29206 / 18117
↖ ↑ ↗
← N 62.418360°
W 19.566650°		 ← 282.80 m → N 62.418360°
W 19.561157°		 →
↑
282.81 m
↓
↑
282.81 m
↓
N 62.415816°
W 19.566650°		 ← 282.83 m →
79 982 m²		 N 62.415816°
W 19.561157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445655822753906 y=0.276451110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445655822753906 × 216)
    floor (0.445655822753906 × 65536)
    floor (29206.5)     		tx = 29206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276451110839844 × 216)
    floor (0.276451110839844 × 65536)
    floor (18117.5)     		ty = 18117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29206 / 18117 ti = "16/29206/18117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29206/18117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29206 ÷ 216
    29206 ÷ 65536     		x = 0.445648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18117 ÷ 216
    18117 ÷ 65536     		y = 0.276443481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445648193359375 × 2 - 1) × π
    -0.10870361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34150247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276443481445312 × 2 - 1) × π
    0.447113037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.40464703266689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34150247} λ = -0.34150247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40464703266689))-π/2
    2×atan(4.07408846730942)-π/2
    2×1.33010111061563-π/2
    2.66020222123127-1.57079632675     		φ = 1.08940589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34150247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.566650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08940589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.418360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29206 KachelY 18117 -0.34150247 1.08940589 -19.566650 62.418360
    Oben rechts KachelX + 1 29207 KachelY 18117 -0.34140660 1.08940589 -19.561157 62.418360
    Unten links KachelX 29206 KachelY + 1 18118 -0.34150247 1.08936150 -19.566650 62.415816
    Unten rechts KachelX + 1 29207 KachelY + 1 18118 -0.34140660 1.08936150 -19.561157 62.415816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08940589-1.08936150) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dl = 282.808690000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08940589-1.08936150) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dr = 282.808690000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34150247--0.34140660) × cos(1.08940589) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.463012039139494 × 6371000     		do = 282.802090869158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34150247--0.34140660) × cos(1.08936150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.463051383848177 × 6371000     		du = 282.826122136036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08940589)-sin(1.08936150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463012039139494-0.463051383848177)×R²
    abs(-0.34140660--0.34150247)×3.93447086829424e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93447086829424e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93447086829424e-05×40589641000000     		ar = 79982.2869864321m²