Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29205 / 19571
↖ ↑ ↗
← N 58.485081°
W 19.572144°		 ← 319.30 m → N 58.485081°
W 19.566650°		 →
↑
319.31 m
↓
↑
319.31 m
↓
N 58.482209°
W 19.572144°		 ← 319.33 m →
101 963 m²		 N 58.482209°
W 19.566650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445640563964844 y=0.298637390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445640563964844 × 216)
    floor (0.445640563964844 × 65536)
    floor (29205.5)     		tx = 29205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298637390136719 × 216)
    floor (0.298637390136719 × 65536)
    floor (19571.5)     		ty = 19571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29205 / 19571 ti = "16/29205/19571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29205/19571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29205 ÷ 216
    29205 ÷ 65536     		x = 0.445632934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19571 ÷ 216
    19571 ÷ 65536     		y = 0.298629760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445632934570312 × 2 - 1) × π
    -0.108734130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34159835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298629760742188 × 2 - 1) × π
    0.402740478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26524652857176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34159835} λ = -0.34159835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26524652857176))-π/2
    2×atan(3.54396631737778)-π/2
    2×1.29577677420484-π/2
    2.59155354840968-1.57079632675     		φ = 1.02075722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34159835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.572144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02075722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.485081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29205 KachelY 19571 -0.34159835 1.02075722 -19.572144 58.485081
    Oben rechts KachelX + 1 29206 KachelY 19571 -0.34150247 1.02075722 -19.566650 58.485081
    Unten links KachelX 29205 KachelY + 1 19572 -0.34159835 1.02070710 -19.572144 58.482209
    Unten rechts KachelX + 1 29206 KachelY + 1 19572 -0.34150247 1.02070710 -19.566650 58.482209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02075722-1.02070710) × R
    5.01199999998203e-05 × 6371000     		dl = 319.314519998855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02075722-1.02070710) × R
    5.01199999998203e-05 × 6371000     		dr = 319.314519998855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34159835--0.34150247) × cos(1.02075722) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.522720568032596 × 6371000     		do = 319.304632609127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34159835--0.34150247) × cos(1.02070710) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.522763294880566 × 6371000     		du = 319.330732367446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02075722)-sin(1.02070710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522720568032596-0.522763294880566)×R²
    abs(-0.34150247--0.34159835)×4.27268479701315e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.27268479701315e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.27268479701315e-05×40589641000000     		ar = 101962.772532374m²