Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29204 / 43324
↖ ↑ ↗
← S 50.050085°
W 19.577637°		 ← 392.20 m → S 50.050085°
W 19.572144°		 →
↑
392.20 m
↓
↑
392.20 m
↓
S 50.053612°
W 19.577637°		 ← 392.17 m →
153 814 m²		 S 50.053612°
W 19.572144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445625305175781 y=0.661079406738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445625305175781 × 216)
    floor (0.445625305175781 × 65536)
    floor (29204.5)     		tx = 29204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661079406738281 × 216)
    floor (0.661079406738281 × 65536)
    floor (43324.5)     		ty = 43324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29204 / 43324 ti = "16/29204/43324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29204/43324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29204 ÷ 216
    29204 ÷ 65536     		x = 0.44561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43324 ÷ 216
    43324 ÷ 65536     		y = 0.66107177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.1087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34169422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66107177734375 × 2 - 1) × π
    -0.3221435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01204382477863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34169422} λ = -0.34169422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01204382477863))-π/2
    2×atan(0.363475339989593)-π/2
    2×0.348628778264199-π/2
    0.697257556528398-1.57079632675     		φ = -0.87353877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34169422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.577637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87353877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.050085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29204 KachelY 43324 -0.34169422 -0.87353877 -19.577637 -50.050085
    Oben rechts KachelX + 1 29205 KachelY 43324 -0.34159835 -0.87353877 -19.572144 -50.050085
    Unten links KachelX 29204 KachelY + 1 43325 -0.34169422 -0.87360033 -19.577637 -50.053612
    Unten rechts KachelX + 1 29205 KachelY + 1 43325 -0.34159835 -0.87360033 -19.572144 -50.053612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87353877--0.87360033) × R
    6.1560000000016e-05 × 6371000     		dl = 392.198760000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87353877--0.87360033) × R
    6.1560000000016e-05 × 6371000     		dr = 392.198760000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34169422--0.34159835) × cos(-0.87353877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.642117731030057 × 6371000     		do = 392.1976570133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34169422--0.34159835) × cos(-0.87360033) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.642070537545612 × 6371000     		du = 392.168831810177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87353877)-sin(-0.87360033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642117731030057-0.642070537545612)×R²
    abs(-0.34159835--0.34169422)×4.71934844451516e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71934844451516e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71934844451516e-05×40589641000000     		ar = 153813.782199848m²