Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29203 / 40590
↖ ↑ ↗
← S 39.427707°
W 19.583130°		 ← 471.79 m → S 39.427707°
W 19.577637°		 →
↑
471.77 m
↓
↑
471.77 m
↓
S 39.431950°
W 19.583130°		 ← 471.76 m →
222 570 m²		 S 39.431950°
W 19.577637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445610046386719 y=0.619361877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445610046386719 × 216)
    floor (0.445610046386719 × 65536)
    floor (29203.5)     		tx = 29203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619361877441406 × 216)
    floor (0.619361877441406 × 65536)
    floor (40590.5)     		ty = 40590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29203 / 40590 ti = "16/29203/40590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29203/40590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29203 ÷ 216
    29203 ÷ 65536     		x = 0.445602416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40590 ÷ 216
    40590 ÷ 65536     		y = 0.619354248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445602416992188 × 2 - 1) × π
    -0.108795166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34179009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.23870849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.749924857656158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34179009} λ = -0.34179009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.749924857656158))-π/2
    2×atan(0.472402048804552)-π/2
    2×0.441326508218161-π/2
    0.882653016436323-1.57079632675     		φ = -0.68814331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34179009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.583130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68814331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.427707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29203 KachelY 40590 -0.34179009 -0.68814331 -19.583130 -39.427707
    Oben rechts KachelX + 1 29204 KachelY 40590 -0.34169422 -0.68814331 -19.577637 -39.427707
    Unten links KachelX 29203 KachelY + 1 40591 -0.34179009 -0.68821736 -19.583130 -39.431950
    Unten rechts KachelX + 1 29204 KachelY + 1 40591 -0.34169422 -0.68821736 -19.577637 -39.431950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68814331--0.68821736) × R
    7.40500000000477e-05 × 6371000     		dl = 471.772550000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68814331--0.68821736) × R
    7.40500000000477e-05 × 6371000     		dr = 471.772550000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34179009--0.34169422) × cos(-0.68814331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.772426537181987 × 6371000     		do = 471.788682134198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34179009--0.34169422) × cos(-0.68821736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.772379505604099 × 6371000     		du = 471.75995582162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68814331)-sin(-0.68821736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772426537181987-0.772379505604099)×R²
    abs(-0.34169422--0.34179009)×4.70315778884345e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70315778884345e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70315778884345e-05×40589641000000     		ar = 222570.17359063m²