Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29201 / 19215
↖ ↑ ↗
← N 59.492515°
W 19.594116°		 ← 310.07 m → N 59.492515°
W 19.588623°		 →
↑
310.08 m
↓
↑
310.08 m
↓
N 59.489726°
W 19.594116°		 ← 310.09 m →
96 148 m²		 N 59.489726°
W 19.588623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445579528808594 y=0.293205261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445579528808594 × 216)
    floor (0.445579528808594 × 65536)
    floor (29201.5)     		tx = 29201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293205261230469 × 216)
    floor (0.293205261230469 × 65536)
    floor (19215.5)     		ty = 19215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29201 / 19215 ti = "16/29201/19215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29201/19215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29201 ÷ 216
    29201 ÷ 65536     		x = 0.445571899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19215 ÷ 216
    19215 ÷ 65536     		y = 0.293197631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445571899414062 × 2 - 1) × π
    -0.108856201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34198184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293197631835938 × 2 - 1) × π
    0.413604736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29937760110124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34198184} λ = -0.34198184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29937760110124))-π/2
    2×atan(3.66701361197346)-π/2
    2×1.30456829481923-π/2
    2.60913658963845-1.57079632675     		φ = 1.03834026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34198184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.594116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03834026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.492515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29201 KachelY 19215 -0.34198184 1.03834026 -19.594116 59.492515
    Oben rechts KachelX + 1 29202 KachelY 19215 -0.34188597 1.03834026 -19.588623 59.492515
    Unten links KachelX 29201 KachelY + 1 19216 -0.34198184 1.03829159 -19.594116 59.489726
    Unten rechts KachelX + 1 29202 KachelY + 1 19216 -0.34188597 1.03829159 -19.588623 59.489726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03834026-1.03829159) × R
    4.86699999999729e-05 × 6371000     		dl = 310.076569999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03834026-1.03829159) × R
    4.86699999999729e-05 × 6371000     		dr = 310.076569999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34198184--0.34188597) × cos(1.03834026) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.507650926116087 × 6371000     		do = 310.066977100873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34198184--0.34188597) × cos(1.03829159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.507692857778521 × 6371000     		du = 310.092588447463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03834026)-sin(1.03829159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507650926116087-0.507692857778521)×R²
    abs(-0.34188597--0.34198184)×4.193166243327e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.193166243327e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.193166243327e-05×40589641000000     		ar = 96148.4754877131m²