Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29201 / 18095
↖ ↑ ↗
← N 62.474263°
W 19.594116°		 ← 282.27 m → N 62.474263°
W 19.588623°		 →
↑
282.30 m
↓
↑
282.30 m
↓
N 62.471724°
W 19.594116°		 ← 282.30 m →
79 689 m²		 N 62.471724°
W 19.588623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445579528808594 y=0.276115417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445579528808594 × 216)
    floor (0.445579528808594 × 65536)
    floor (29201.5)     		tx = 29201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276115417480469 × 216)
    floor (0.276115417480469 × 65536)
    floor (18095.5)     		ty = 18095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29201 / 18095 ti = "16/29201/18095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29201/18095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29201 ÷ 216
    29201 ÷ 65536     		x = 0.445571899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18095 ÷ 216
    18095 ÷ 65536     		y = 0.276107788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445571899414062 × 2 - 1) × π
    -0.108856201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34198184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276107788085938 × 2 - 1) × π
    0.447784423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40675625625017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34198184} λ = -0.34198184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40675625625017))-π/2
    2×atan(4.08269069961151)-π/2
    2×1.33058895233445-π/2
    2.6611779046689-1.57079632675     		φ = 1.09038158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34198184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.594116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09038158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.474263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29201 KachelY 18095 -0.34198184 1.09038158 -19.594116 62.474263
    Oben rechts KachelX + 1 29202 KachelY 18095 -0.34188597 1.09038158 -19.588623 62.474263
    Unten links KachelX 29201 KachelY + 1 18096 -0.34198184 1.09033727 -19.594116 62.471724
    Unten rechts KachelX + 1 29202 KachelY + 1 18096 -0.34188597 1.09033727 -19.588623 62.471724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09038158-1.09033727) × R
    4.43100000000474e-05 × 6371000     		dl = 282.299010000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09038158-1.09033727) × R
    4.43100000000474e-05 × 6371000     		dr = 282.299010000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34198184--0.34188597) × cos(1.09038158) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462147014115799 × 6371000     		do = 282.273744163941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34198184--0.34188597) × cos(1.09033727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462186307917435 × 6371000     		du = 282.297744337417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09038158)-sin(1.09033727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462147014115799-0.462186307917435)×R²
    abs(-0.34188597--0.34198184)×3.92938016365307e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92938016365307e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92938016365307e-05×40589641000000     		ar = 79688.9861519761m²