Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29200 / 43341
↖ ↑ ↗
← S 50.110011°
W 19.599610°		 ← 391.75 m → S 50.110011°
W 19.594116°		 →
↑
391.69 m
↓
↑
391.69 m
↓
S 50.113534°
W 19.599610°		 ← 391.72 m →
153 438 m²		 S 50.113534°
W 19.594116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445564270019531 y=0.661338806152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445564270019531 × 216)
    floor (0.445564270019531 × 65536)
    floor (29200.5)     		tx = 29200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661338806152344 × 216)
    floor (0.661338806152344 × 65536)
    floor (43341.5)     		ty = 43341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29200 / 43341 ti = "16/29200/43341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29200/43341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29200 ÷ 216
    29200 ÷ 65536     		x = 0.445556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43341 ÷ 216
    43341 ÷ 65536     		y = 0.661331176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445556640625 × 2 - 1) × π
    -0.10888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34207772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661331176757812 × 2 - 1) × π
    -0.322662353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01367367936571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34207772} λ = -0.34207772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01367367936571))-π/2
    2×atan(0.362883410549911)-π/2
    2×0.348105825866252-π/2
    0.696211651732505-1.57079632675     		φ = -0.87458468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34207772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.599610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87458468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.110011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29200 KachelY 43341 -0.34207772 -0.87458468 -19.599610 -50.110011
    Oben rechts KachelX + 1 29201 KachelY 43341 -0.34198184 -0.87458468 -19.594116 -50.110011
    Unten links KachelX 29200 KachelY + 1 43342 -0.34207772 -0.87464616 -19.599610 -50.113534
    Unten rechts KachelX + 1 29201 KachelY + 1 43342 -0.34198184 -0.87464616 -19.594116 -50.113534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87458468--0.87464616) × R
    6.14799999999471e-05 × 6371000     		dl = 391.689079999663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87458468--0.87464616) × R
    6.14799999999471e-05 × 6371000     		dr = 391.689079999663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34207772--0.34198184) × cos(-0.87458468) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.641315579038511 × 6371000     		do = 391.748570602701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34207772--0.34198184) × cos(-0.87464616) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.641268405623206 × 6371000     		du = 391.719754652146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87458468)-sin(-0.87464616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641315579038511-0.641268405623206)×R²
    abs(-0.34198184--0.34207772)×4.7173415304913e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7173415304913e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7173415304913e-05×40589641000000     		ar = 153437.993812232m²