Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 292 / 220
↖ ↑ ↗
← N 24.527135°
E 25.312500°		 ← 71.129 km → N 24.527135°
E 26.015625°		 →
↑
71.309 km
↓
↑
71.309 km
↓
N 23.885838°
E 25.312500°		 ← 71.488 km →
5 084.98 km²		 N 23.885838°
E 26.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5712890625 y=0.4306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5712890625 × 29)
    floor (0.5712890625 × 512)
    floor (292.5)     		tx = 292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4306640625 × 29)
    floor (0.4306640625 × 512)
    floor (220.5)     		ty = 220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 292 / 220 ti = "9/292/220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/292/220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 292 ÷ 29
    292 ÷ 512     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 220 ÷ 29
    220 ÷ 512     		y = 0.4296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4296875 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.441786466898437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441786466898437))-π/2
    2×atan(1.55548355774086)-π/2
    2×0.999437792759148-π/2
    1.9988755855183-1.57079632675     		φ = 0.42807926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42807926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.527135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 292 KachelY 220 0.44178647 0.42807926 25.312500 24.527135
    Oben rechts KachelX + 1 293 KachelY 220 0.45405831 0.42807926 26.015625 24.527135
    Unten links KachelX 292 KachelY + 1 221 0.44178647 0.41688651 25.312500 23.885838
    Unten rechts KachelX + 1 293 KachelY + 1 221 0.45405831 0.41688651 26.015625 23.885838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42807926-0.41688651) × R
    0.01119275 × 6371000     		dl = 71309.0102500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42807926-0.41688651) × R
    0.01119275 × 6371000     		dr = 71309.0102500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.45405831) × cos(0.42807926) × R
    0.01227184 × 0.909764772910752 × 6371000     		do = 71128.9513329084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.45405831) × cos(0.41688651) × R
    0.01227184 × 0.91435407069783 × 6371000     		du = 71487.7604983863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42807926)-sin(0.41688651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909764772910752-0.91435407069783)×R²
    abs(0.45405831-0.44178647)×0.00458929778707784×R²
    0.01227184×0.00458929778707784×6371000²
    0.01227184×0.00458929778707784×40589641000000     		ar = 5084981369.22117m²