Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29199 / 43311
↖ ↑ ↗
← S 50.004209°
W 19.605103°		 ← 392.57 m → S 50.004209°
W 19.599610°		 →
↑
392.58 m
↓
↑
392.58 m
↓
S 50.007739°
W 19.605103°		 ← 392.54 m →
154 111 m²		 S 50.007739°
W 19.599610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445549011230469 y=0.660881042480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445549011230469 × 216)
    floor (0.445549011230469 × 65536)
    floor (29199.5)     		tx = 29199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660881042480469 × 216)
    floor (0.660881042480469 × 65536)
    floor (43311.5)     		ty = 43311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29199 / 43311 ti = "16/29199/43311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29199/43311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29199 ÷ 216
    29199 ÷ 65536     		x = 0.445541381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43311 ÷ 216
    43311 ÷ 65536     		y = 0.660873413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445541381835938 × 2 - 1) × π
    -0.108917236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34217359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660873413085938 × 2 - 1) × π
    -0.321746826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0107974653885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34217359} λ = -0.34217359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0107974653885))-π/2
    2×atan(0.36392864332342)-π/2
    2×0.349029124181268-π/2
    0.698058248362536-1.57079632675     		φ = -0.87273808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34217359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.605103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87273808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.004209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29199 KachelY 43311 -0.34217359 -0.87273808 -19.605103 -50.004209
    Oben rechts KachelX + 1 29200 KachelY 43311 -0.34207772 -0.87273808 -19.599610 -50.004209
    Unten links KachelX 29199 KachelY + 1 43312 -0.34217359 -0.87279970 -19.605103 -50.007739
    Unten rechts KachelX + 1 29200 KachelY + 1 43312 -0.34207772 -0.87279970 -19.599610 -50.007739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87273808--0.87279970) × R
    6.16199999999845e-05 × 6371000     		dl = 392.581019999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87273808--0.87279970) × R
    6.16199999999845e-05 × 6371000     		dr = 392.581019999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34217359--0.34207772) × cos(-0.87273808) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.642731338921816 × 6371000     		do = 392.572441209389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34217359--0.34207772) × cos(-0.87279970) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.642684131133747 × 6371000     		du = 392.543607269787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87273808)-sin(-0.87279970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642731338921816-0.642684131133747)×R²
    abs(-0.34207772--0.34217359)×4.72077880693256e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.72077880693256e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.72077880693256e-05×40589641000000     		ar = 154110.829613859m²