Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29199 / 18095
↖ ↑ ↗
← N 62.474263°
W 19.605103°		 ← 282.27 m → N 62.474263°
W 19.599610°		 →
↑
282.30 m
↓
↑
282.30 m
↓
N 62.471724°
W 19.605103°		 ← 282.30 m →
79 689 m²		 N 62.471724°
W 19.599610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445549011230469 y=0.276115417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445549011230469 × 216)
    floor (0.445549011230469 × 65536)
    floor (29199.5)     		tx = 29199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276115417480469 × 216)
    floor (0.276115417480469 × 65536)
    floor (18095.5)     		ty = 18095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29199 / 18095 ti = "16/29199/18095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29199/18095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29199 ÷ 216
    29199 ÷ 65536     		x = 0.445541381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18095 ÷ 216
    18095 ÷ 65536     		y = 0.276107788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445541381835938 × 2 - 1) × π
    -0.108917236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34217359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276107788085938 × 2 - 1) × π
    0.447784423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40675625625017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34217359} λ = -0.34217359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40675625625017))-π/2
    2×atan(4.08269069961151)-π/2
    2×1.33058895233445-π/2
    2.6611779046689-1.57079632675     		φ = 1.09038158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34217359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.605103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09038158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.474263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29199 KachelY 18095 -0.34217359 1.09038158 -19.605103 62.474263
    Oben rechts KachelX + 1 29200 KachelY 18095 -0.34207772 1.09038158 -19.599610 62.474263
    Unten links KachelX 29199 KachelY + 1 18096 -0.34217359 1.09033727 -19.605103 62.471724
    Unten rechts KachelX + 1 29200 KachelY + 1 18096 -0.34207772 1.09033727 -19.599610 62.471724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09038158-1.09033727) × R
    4.43100000000474e-05 × 6371000     		dl = 282.299010000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09038158-1.09033727) × R
    4.43100000000474e-05 × 6371000     		dr = 282.299010000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34217359--0.34207772) × cos(1.09038158) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.462147014115799 × 6371000     		do = 282.273744164104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34217359--0.34207772) × cos(1.09033727) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.462186307917435 × 6371000     		du = 282.297744337581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09038158)-sin(1.09033727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462147014115799-0.462186307917435)×R²
    abs(-0.34207772--0.34217359)×3.92938016365307e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.92938016365307e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.92938016365307e-05×40589641000000     		ar = 79688.9861520222m²