Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29196 / 14260
↖ ↑ ↗
← N 70.750723°
W 19.621582°		 ← 201.36 m → N 70.750723°
W 19.616089°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
N 70.748912°
W 19.621582°		 ← 201.38 m →
40 541 m²		 N 70.748912°
W 19.616089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445503234863281 y=0.217597961425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445503234863281 × 216)
    floor (0.445503234863281 × 65536)
    floor (29196.5)     		tx = 29196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217597961425781 × 216)
    floor (0.217597961425781 × 65536)
    floor (14260.5)     		ty = 14260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29196 / 14260 ti = "16/29196/14260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29196/14260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29196 ÷ 216
    29196 ÷ 65536     		x = 0.44549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14260 ÷ 216
    14260 ÷ 65536     		y = 0.21759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.1090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34246121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21759033203125 × 2 - 1) × π
    0.5648193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.774432276336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34246121} λ = -0.34246121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.774432276336))-π/2
    2×atan(5.89693235777402)-π/2
    2×1.40281469582461-π/2
    2.80562939164922-1.57079632675     		φ = 1.23483306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34246121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.621582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23483306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.750723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29196 KachelY 14260 -0.34246121 1.23483306 -19.621582 70.750723
    Oben rechts KachelX + 1 29197 KachelY 14260 -0.34236534 1.23483306 -19.616089 70.750723
    Unten links KachelX 29196 KachelY + 1 14261 -0.34246121 1.23480146 -19.621582 70.748912
    Unten rechts KachelX + 1 29197 KachelY + 1 14261 -0.34236534 1.23480146 -19.616089 70.748912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23483306-1.23480146) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dl = 201.323600000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23483306-1.23480146) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dr = 201.323600000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34246121--0.34236534) × cos(1.23483306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329678736295608 × 6371000     		do = 201.363740158408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34246121--0.34236534) × cos(1.23480146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329708569475461 × 6371000     		du = 201.381961899803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23483306)-sin(1.23480146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329678736295608-0.329708569475461)×R²
    abs(-0.34236534--0.34246121)×2.9833179852834e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9833179852834e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9833179852834e-05×40589641000000     		ar = 40541.1073148112m²