Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29195 / 17915
↖ ↑ ↗
← N 62.927736°
W 19.627075°		 ← 277.98 m → N 62.927736°
W 19.621582°		 →
↑
278.03 m
↓
↑
278.03 m
↓
N 62.925235°
W 19.627075°		 ← 278 m →
77 290 m²		 N 62.925235°
W 19.621582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445487976074219 y=0.273368835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445487976074219 × 216)
    floor (0.445487976074219 × 65536)
    floor (29195.5)     		tx = 29195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273368835449219 × 216)
    floor (0.273368835449219 × 65536)
    floor (17915.5)     		ty = 17915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29195 / 17915 ti = "16/29195/17915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29195/17915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29195 ÷ 216
    29195 ÷ 65536     		x = 0.445480346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17915 ÷ 216
    17915 ÷ 65536     		y = 0.273361206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445480346679688 × 2 - 1) × π
    -0.109039306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34255708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273361206054688 × 2 - 1) × π
    0.453277587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42401354011339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34255708} λ = -0.34255708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42401354011339))-π/2
    2×atan(4.15375830512705)-π/2
    2×1.33454625352206-π/2
    2.66909250704412-1.57079632675     		φ = 1.09829618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34255708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.627075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09829618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.927736°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29195 KachelY 17915 -0.34255708 1.09829618 -19.627075 62.927736
    Oben rechts KachelX + 1 29196 KachelY 17915 -0.34246121 1.09829618 -19.621582 62.927736
    Unten links KachelX 29195 KachelY + 1 17916 -0.34255708 1.09825254 -19.627075 62.925235
    Unten rechts KachelX + 1 29196 KachelY + 1 17916 -0.34246121 1.09825254 -19.621582 62.925235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09829618-1.09825254) × R
    4.36399999999004e-05 × 6371000     		dl = 278.030439999366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09829618-1.09825254) × R
    4.36399999999004e-05 × 6371000     		dr = 278.030439999366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34255708--0.34246121) × cos(1.09829618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455113919219918 × 6371000     		do = 277.978015816288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34255708--0.34246121) × cos(1.09825254) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455152777292286 × 6371000     		du = 278.001749851656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09829618)-sin(1.09825254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455113919219918-0.455152777292286)×R²
    abs(-0.34246121--0.34255708)×3.8858072368364e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8858072368364e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8858072368364e-05×40589641000000     		ar = 77289.6494520578m²