Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29194 / 19243
↖ ↑ ↗
← N 59.414343°
W 19.632568°		 ← 310.82 m → N 59.414343°
W 19.627075°		 →
↑
310.78 m
↓
↑
310.78 m
↓
N 59.411548°
W 19.632568°		 ← 310.84 m →
96 599 m²		 N 59.411548°
W 19.627075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445472717285156 y=0.293632507324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445472717285156 × 216)
    floor (0.445472717285156 × 65536)
    floor (29194.5)     		tx = 29194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293632507324219 × 216)
    floor (0.293632507324219 × 65536)
    floor (19243.5)     		ty = 19243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29194 / 19243 ti = "16/29194/19243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29194/19243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29194 ÷ 216
    29194 ÷ 65536     		x = 0.445465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19243 ÷ 216
    19243 ÷ 65536     		y = 0.293624877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.10906982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34265296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293624877929688 × 2 - 1) × π
    0.412750244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29669313472252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34265296} λ = -0.34265296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29669313472252))-π/2
    2×atan(3.65718283831615)-π/2
    2×1.30388612053745-π/2
    2.60777224107489-1.57079632675     		φ = 1.03697591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34265296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.632568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03697591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.414343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29194 KachelY 19243 -0.34265296 1.03697591 -19.632568 59.414343
    Oben rechts KachelX + 1 29195 KachelY 19243 -0.34255708 1.03697591 -19.627075 59.414343
    Unten links KachelX 29194 KachelY + 1 19244 -0.34265296 1.03692713 -19.632568 59.411548
    Unten rechts KachelX + 1 29195 KachelY + 1 19244 -0.34255708 1.03692713 -19.627075 59.411548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03697591-1.03692713) × R
    4.87799999999705e-05 × 6371000     		dl = 310.777379999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03697591-1.03692713) × R
    4.87799999999705e-05 × 6371000     		dr = 310.777379999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34265296--0.34255708) × cos(1.03697591) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.508825926536465 × 6371000     		do = 310.817070287147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34265296--0.34255708) × cos(1.03692713) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.508867919141899 × 6371000     		du = 310.842721532326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03697591)-sin(1.03692713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508825926536465-0.508867919141899)×R²
    abs(-0.34255708--0.34265296)×4.19926054336939e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.19926054336939e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.19926054336939e-05×40589641000000     		ar = 96598.900695415m²