Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29193 / 43271
↖ ↑ ↗
← S 49.862776°
W 19.638061°		 ← 393.73 m → S 49.862776°
W 19.632568°		 →
↑
393.73 m
↓
↑
393.73 m
↓
S 49.866317°
W 19.638061°		 ← 393.70 m →
155 015 m²		 S 49.866317°
W 19.632568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445457458496094 y=0.660270690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445457458496094 × 216)
    floor (0.445457458496094 × 65536)
    floor (29193.5)     		tx = 29193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660270690917969 × 216)
    floor (0.660270690917969 × 65536)
    floor (43271.5)     		ty = 43271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29193 / 43271 ti = "16/29193/43271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29193/43271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29193 ÷ 216
    29193 ÷ 65536     		x = 0.445449829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43271 ÷ 216
    43271 ÷ 65536     		y = 0.660263061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445449829101562 × 2 - 1) × π
    -0.109100341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34274883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660263061523438 × 2 - 1) × π
    -0.320526123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.0069625134189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34274883} λ = -0.34274883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0069625134189))-π/2
    2×atan(0.365326971738332)-π/2
    2×0.350263356993732-π/2
    0.700526713987464-1.57079632675     		φ = -0.87026961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34274883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.638061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87026961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.862776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29193 KachelY 43271 -0.34274883 -0.87026961 -19.638061 -49.862776
    Oben rechts KachelX + 1 29194 KachelY 43271 -0.34265296 -0.87026961 -19.632568 -49.862776
    Unten links KachelX 29193 KachelY + 1 43272 -0.34274883 -0.87033141 -19.638061 -49.866317
    Unten rechts KachelX + 1 29194 KachelY + 1 43272 -0.34265296 -0.87033141 -19.632568 -49.866317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87026961--0.87033141) × R
    6.18000000000007e-05 × 6371000     		dl = 393.727800000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87026961--0.87033141) × R
    6.18000000000007e-05 × 6371000     		dr = 393.727800000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34274883--0.34265296) × cos(-0.87026961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64462045308171 × 6371000     		do = 393.726289034159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34274883--0.34265296) × cos(-0.87033141) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644573205580134 × 6371000     		du = 393.697430838033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87026961)-sin(-0.87033141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64462045308171-0.644573205580134)×R²
    abs(-0.34265296--0.34274883)×4.72475015754759e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72475015754759e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72475015754759e-05×40589641000000     		ar = 155015.304495868m²