Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29192 / 43270
↖ ↑ ↗
← S 49.859235°
W 19.643555°		 ← 393.80 m → S 49.859235°
W 19.638061°		 →
↑
393.73 m
↓
↑
393.73 m
↓
S 49.862776°
W 19.643555°		 ← 393.77 m →
155 043 m²		 S 49.862776°
W 19.638061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445442199707031 y=0.660255432128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445442199707031 × 216)
    floor (0.445442199707031 × 65536)
    floor (29192.5)     		tx = 29192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660255432128906 × 216)
    floor (0.660255432128906 × 65536)
    floor (43270.5)     		ty = 43270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29192 / 43270 ti = "16/29192/43270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29192/43270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29192 ÷ 216
    29192 ÷ 65536     		x = 0.4454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43270 ÷ 216
    43270 ÷ 65536     		y = 0.660247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.109130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34284471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660247802734375 × 2 - 1) × π
    -0.32049560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00686663961966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34284471} λ = -0.34284471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00686663961966))-π/2
    2×atan(0.365361998702135)-π/2
    2×0.35029425923205-π/2
    0.7005885184641-1.57079632675     		φ = -0.87020781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34284471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.643555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87020781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.859235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29192 KachelY 43270 -0.34284471 -0.87020781 -19.643555 -49.859235
    Oben rechts KachelX + 1 29193 KachelY 43270 -0.34274883 -0.87020781 -19.638061 -49.859235
    Unten links KachelX 29192 KachelY + 1 43271 -0.34284471 -0.87026961 -19.643555 -49.862776
    Unten rechts KachelX + 1 29193 KachelY + 1 43271 -0.34274883 -0.87026961 -19.638061 -49.862776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87020781--0.87026961) × R
    6.18000000000007e-05 × 6371000     		dl = 393.727800000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87020781--0.87026961) × R
    6.18000000000007e-05 × 6371000     		dr = 393.727800000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34284471--0.34274883) × cos(-0.87020781) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.644667698121325 × 6371000     		do = 393.796217505575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34284471--0.34274883) × cos(-0.87026961) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.64462045308171 × 6371000     		du = 393.767357803203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87020781)-sin(-0.87026961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644667698121325-0.64462045308171)×R²
    abs(-0.34274883--0.34284471)×4.72450396152846e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72450396152846e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72450396152846e-05×40589641000000     		ar = 155042.836982456m²