Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 29192 / 36343
↖ ↑ ↗
← N 62.279423°
W 99.821777°		 ← 142.07 m → N 62.279423°
W 99.819031°		 →
↑
142.07 m
↓
↑
142.07 m
↓
N 62.278145°
W 99.821777°		 ← 142.08 m →
20 185 m²		 N 62.278145°
W 99.819031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222721099853516 y=0.277278900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222721099853516 × 217)
    floor (0.222721099853516 × 131072)
    floor (29192.5)     		tx = 29192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277278900146484 × 217)
    floor (0.277278900146484 × 131072)
    floor (36343.5)     		ty = 36343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29192 / 36343 ti = "17/29192/36343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29192/36343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29192 ÷ 217
    29192 ÷ 131072     		x = 0.22271728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36343 ÷ 217
    36343 ÷ 131072     		y = 0.277275085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.5545654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.74221868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.277275085449219 × 2 - 1) × π
    0.445449829101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.3994219106083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74221868} λ = -1.74221868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3994219106083))-π/2
    2×atan(4.05285637623032)-π/2
    2×1.328888659156-π/2
    2.65777731831201-1.57079632675     		φ = 1.08698099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74221868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.821777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08698099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.279423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29192 KachelY 36343 -1.74221868 1.08698099 -99.821777 62.279423
    Oben rechts KachelX + 1 29193 KachelY 36343 -1.74217074 1.08698099 -99.819031 62.279423
    Unten links KachelX 29192 KachelY + 1 36344 -1.74221868 1.08695869 -99.821777 62.278145
    Unten rechts KachelX + 1 29193 KachelY + 1 36344 -1.74217074 1.08695869 -99.819031 62.278145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08698099-1.08695869) × R
    2.23000000001417e-05 × 6371000     		dl = 142.073300000902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08698099-1.08695869) × R
    2.23000000001417e-05 × 6371000     		dr = 142.073300000902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74221868--1.74217074) × cos(1.08698099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465159990688489 × 6371000     		do = 142.071834374332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74221868--1.74217074) × cos(1.08695869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.465179731126633 × 6371000     		du = 142.07786361226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08698099)-sin(1.08695869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465159990688489-0.465179731126633)×R²
    abs(-1.74217074--1.74221868)×1.97404381449551e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97404381449551e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97404381449551e-05×40589641000000     		ar = 20185.042644294m²