Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29192 / 18137
↖ ↑ ↗
← N 62.367449°
W 19.643555°		 ← 283.31 m → N 62.367449°
W 19.638061°		 →
↑
283.32 m
↓
↑
283.32 m
↓
N 62.364901°
W 19.643555°		 ← 283.34 m →
80 271 m²		 N 62.364901°
W 19.638061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445442199707031 y=0.276756286621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445442199707031 × 216)
    floor (0.445442199707031 × 65536)
    floor (29192.5)     		tx = 29192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276756286621094 × 216)
    floor (0.276756286621094 × 65536)
    floor (18137.5)     		ty = 18137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29192 / 18137 ti = "16/29192/18137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29192/18137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29192 ÷ 216
    29192 ÷ 65536     		x = 0.4454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18137 ÷ 216
    18137 ÷ 65536     		y = 0.276748657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.109130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34284471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276748657226562 × 2 - 1) × π
    0.446502685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40272955668208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34284471} λ = -0.34284471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40272955668208))-π/2
    2×atan(4.06628398535799)-π/2
    2×1.329656826008-π/2
    2.659313652016-1.57079632675     		φ = 1.08851733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34284471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.643555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08851733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.367449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29192 KachelY 18137 -0.34284471 1.08851733 -19.643555 62.367449
    Oben rechts KachelX + 1 29193 KachelY 18137 -0.34274883 1.08851733 -19.638061 62.367449
    Unten links KachelX 29192 KachelY + 1 18138 -0.34284471 1.08847286 -19.643555 62.364901
    Unten rechts KachelX + 1 29193 KachelY + 1 18138 -0.34274883 1.08847286 -19.638061 62.364901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08851733-1.08847286) × R
    4.44699999999632e-05 × 6371000     		dl = 283.318369999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08851733-1.08847286) × R
    4.44699999999632e-05 × 6371000     		dr = 283.318369999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34284471--0.34274883) × cos(1.08851733) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.463799433177821 × 6371000     		do = 283.312570179811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34284471--0.34274883) × cos(1.08847286) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.463838830481101 × 6371000     		du = 283.336636080828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08851733)-sin(1.08847286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463799433177821-0.463838830481101)×R²
    abs(-0.34274883--0.34284471)×3.93973032803974e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.93973032803974e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.93973032803974e-05×40589641000000     		ar = 80271.064753056m²