Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29192 / 14264
↖ ↑ ↗
← N 70.743478°
W 19.643555°		 ← 201.46 m → N 70.743478°
W 19.638061°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
N 70.741666°
W 19.643555°		 ← 201.48 m →
40 586 m²		 N 70.741666°
W 19.638061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445442199707031 y=0.217658996582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445442199707031 × 216)
    floor (0.445442199707031 × 65536)
    floor (29192.5)     		tx = 29192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217658996582031 × 216)
    floor (0.217658996582031 × 65536)
    floor (14264.5)     		ty = 14264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29192 / 14264 ti = "16/29192/14264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29192/14264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29192 ÷ 216
    29192 ÷ 65536     		x = 0.4454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14264 ÷ 216
    14264 ÷ 65536     		y = 0.2176513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.109130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34284471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2176513671875 × 2 - 1) × π
    0.564697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77404878113904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34284471} λ = -0.34284471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77404878113904))-π/2
    2×atan(5.89467134610929)-π/2
    2×1.40275146927464-π/2
    2.80550293854928-1.57079632675     		φ = 1.23470661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34284471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.643555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23470661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.743478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29192 KachelY 14264 -0.34284471 1.23470661 -19.643555 70.743478
    Oben rechts KachelX + 1 29193 KachelY 14264 -0.34274883 1.23470661 -19.638061 70.743478
    Unten links KachelX 29192 KachelY + 1 14265 -0.34284471 1.23467499 -19.643555 70.741666
    Unten rechts KachelX + 1 29193 KachelY + 1 14265 -0.34274883 1.23467499 -19.638061 70.741666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23470661-1.23467499) × R
    3.1619999999899e-05 × 6371000     		dl = 201.451019999356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23470661-1.23467499) × R
    3.1619999999899e-05 × 6371000     		dr = 201.451019999356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34284471--0.34274883) × cos(1.23470661) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.329798114242072 × 6371000     		do = 201.457666185963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34284471--0.34274883) × cos(1.23467499) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.329827964985111 × 6371000     		du = 201.475900556528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23470661)-sin(1.23467499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329798114242072-0.329827964985111)×R²
    abs(-0.34274883--0.34284471)×2.98507430388506e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.98507430388506e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.98507430388506e-05×40589641000000     		ar = 40585.6890092755m²