Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29191 / 22009
↖ ↑ ↗
← N 75.849870°
W 99.824524°		 ← 74.67 m → N 75.849870°
W 99.821777°		 →
↑
74.67 m
↓
↑
74.67 m
↓
N 75.849198°
W 99.824524°		 ← 74.67 m →
5 575 m²		 N 75.849198°
W 99.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222713470458984 y=0.167919158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222713470458984 × 217)
    floor (0.222713470458984 × 131072)
    floor (29191.5)     		tx = 29191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167919158935547 × 217)
    floor (0.167919158935547 × 131072)
    floor (22009.5)     		ty = 22009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29191 / 22009 ti = "17/29191/22009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29191/22009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29191 ÷ 217
    29191 ÷ 131072     		x = 0.222709655761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22009 ÷ 217
    22009 ÷ 131072     		y = 0.167915344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222709655761719 × 2 - 1) × π
    -0.554580688476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.74226662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167915344238281 × 2 - 1) × π
    0.664169311523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.08654942976218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74226662} λ = -1.74226662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08654942976218))-π/2
    2×atan(8.05706567260978)-π/2
    2×1.44731314232085-π/2
    2.89462628464171-1.57079632675     		φ = 1.32382996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74226662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.824524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32382996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.849870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29191 KachelY 22009 -1.74226662 1.32382996 -99.824524 75.849870
    Oben rechts KachelX + 1 29192 KachelY 22009 -1.74221868 1.32382996 -99.821777 75.849870
    Unten links KachelX 29191 KachelY + 1 22010 -1.74226662 1.32381824 -99.824524 75.849198
    Unten rechts KachelX + 1 29192 KachelY + 1 22010 -1.74221868 1.32381824 -99.821777 75.849198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32382996-1.32381824) × R
    1.17200000000484e-05 × 6371000     		dl = 74.6681200003081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32382996-1.32381824) × R
    1.17200000000484e-05 × 6371000     		dr = 74.6681200003081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74226662--1.74221868) × cos(1.32382996) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.244463500447744 × 6371000     		do = 74.6654455275394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74226662--1.74221868) × cos(1.32381824) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.244474864828516 × 6371000     		du = 74.6689165019463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32382996)-sin(1.32381824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244463500447744-0.244474864828516)×R²
    abs(-1.74221868--1.74226662)×1.13643807717612e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.13643807717612e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.13643807717612e-05×40589641000000     		ar = 5575.25803209704m²