Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29191 / 18138
↖ ↑ ↗
← N 62.364901°
W 19.649048°		 ← 283.31 m → N 62.364901°
W 19.643555°		 →
↑
283.32 m
↓
↑
283.32 m
↓
N 62.362353°
W 19.649048°		 ← 283.33 m →
80 270 m²		 N 62.362353°
W 19.643555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445426940917969 y=0.276771545410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445426940917969 × 216)
    floor (0.445426940917969 × 65536)
    floor (29191.5)     		tx = 29191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276771545410156 × 216)
    floor (0.276771545410156 × 65536)
    floor (18138.5)     		ty = 18138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29191 / 18138 ti = "16/29191/18138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29191/18138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29191 ÷ 216
    29191 ÷ 65536     		x = 0.445419311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18138 ÷ 216
    18138 ÷ 65536     		y = 0.276763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445419311523438 × 2 - 1) × π
    -0.109161376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34294058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276763916015625 × 2 - 1) × π
    0.44647216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40263368288284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34294058} λ = -0.34294058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40263368288284))-π/2
    2×atan(4.06589415395113)-π/2
    2×1.32963459195668-π/2
    2.65926918391336-1.57079632675     		φ = 1.08847286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34294058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.649048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08847286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.364901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29191 KachelY 18138 -0.34294058 1.08847286 -19.649048 62.364901
    Oben rechts KachelX + 1 29192 KachelY 18138 -0.34284471 1.08847286 -19.643555 62.364901
    Unten links KachelX 29191 KachelY + 1 18139 -0.34294058 1.08842839 -19.649048 62.362353
    Unten rechts KachelX + 1 29192 KachelY + 1 18139 -0.34284471 1.08842839 -19.643555 62.362353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08847286-1.08842839) × R
    4.44699999999632e-05 × 6371000     		dl = 283.318369999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08847286-1.08842839) × R
    4.44699999999632e-05 × 6371000     		dr = 283.318369999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34294058--0.34284471) × cos(1.08847286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.463838830481101 × 6371000     		do = 283.307084908954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34294058--0.34284471) × cos(1.08842839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.463878226867103 × 6371000     		du = 283.331147739706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08847286)-sin(1.08842839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463838830481101-0.463878226867103)×R²
    abs(-0.34284471--0.34294058)×3.93963860015889e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93963860015889e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93963860015889e-05×40589641000000     		ar = 80269.5102400973m²