Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29190 / 43111
↖ ↑ ↗
← S 49.292889°
W 19.654541°		 ← 398.35 m → S 49.292889°
W 19.649048°		 →
↑
398.38 m
↓
↑
398.38 m
↓
S 49.296472°
W 19.654541°		 ← 398.32 m →
158 689 m²		 S 49.296472°
W 19.649048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445411682128906 y=0.657829284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445411682128906 × 216)
    floor (0.445411682128906 × 65536)
    floor (29190.5)     		tx = 29190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657829284667969 × 216)
    floor (0.657829284667969 × 65536)
    floor (43111.5)     		ty = 43111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29190 / 43111 ti = "16/29190/43111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29190/43111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29190 ÷ 216
    29190 ÷ 65536     		x = 0.445404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43111 ÷ 216
    43111 ÷ 65536     		y = 0.657821655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445404052734375 × 2 - 1) × π
    -0.10919189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34303645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657821655273438 × 2 - 1) × π
    -0.315643310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.991622705540482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34303645} λ = -0.34303645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991622705540482))-π/2
    2×atan(0.370974220415207)-π/2
    2×0.355236556815363-π/2
    0.710473113630727-1.57079632675     		φ = -0.86032321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34303645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.654541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86032321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.292889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29190 KachelY 43111 -0.34303645 -0.86032321 -19.654541 -49.292889
    Oben rechts KachelX + 1 29191 KachelY 43111 -0.34294058 -0.86032321 -19.649048 -49.292889
    Unten links KachelX 29190 KachelY + 1 43112 -0.34303645 -0.86038574 -19.654541 -49.296472
    Unten rechts KachelX + 1 29191 KachelY + 1 43112 -0.34294058 -0.86038574 -19.649048 -49.296472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86032321--0.86038574) × R
    6.25300000000051e-05 × 6371000     		dl = 398.378630000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86032321--0.86038574) × R
    6.25300000000051e-05 × 6371000     		dr = 398.378630000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34303645--0.34294058) × cos(-0.86032321) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65219249179522 × 6371000     		do = 398.351197674337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34303645--0.34294058) × cos(-0.86038574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652145089441261 × 6371000     		du = 398.32224489627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86032321)-sin(-0.86038574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65219249179522-0.652145089441261)×R²
    abs(-0.34294058--0.34303645)×4.74023539590585e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74023539590585e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74023539590585e-05×40589641000000     		ar = 158688.837356296m²