Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29190 / 22012
↖ ↑ ↗
← N 75.847855°
W 99.827270°		 ← 74.66 m → N 75.847855°
W 99.824524°		 →
↑
74.67 m
↓
↑
74.67 m
↓
N 75.847183°
W 99.827270°		 ← 74.66 m →
5 575 m²		 N 75.847183°
W 99.824524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222705841064453 y=0.167942047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222705841064453 × 217)
    floor (0.222705841064453 × 131072)
    floor (29190.5)     		tx = 29190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167942047119141 × 217)
    floor (0.167942047119141 × 131072)
    floor (22012.5)     		ty = 22012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29190 / 22012 ti = "17/29190/22012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29190/22012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29190 ÷ 217
    29190 ÷ 131072     		x = 0.222702026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22012 ÷ 217
    22012 ÷ 131072     		y = 0.167938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222702026367188 × 2 - 1) × π
    -0.554595947265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74231455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167938232421875 × 2 - 1) × π
    0.66412353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08640561906332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74231455} λ = -1.74231455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08640561906332))-π/2
    2×atan(8.05590706367681)-π/2
    2×1.44729556286161-π/2
    2.89459112572322-1.57079632675     		φ = 1.32379480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74231455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.827270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32379480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.847855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29190 KachelY 22012 -1.74231455 1.32379480 -99.827270 75.847855
    Oben rechts KachelX + 1 29191 KachelY 22012 -1.74226662 1.32379480 -99.824524 75.847855
    Unten links KachelX 29190 KachelY + 1 22013 -1.74231455 1.32378308 -99.827270 75.847183
    Unten rechts KachelX + 1 29191 KachelY + 1 22013 -1.74226662 1.32378308 -99.824524 75.847183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32379480-1.32378308) × R
    1.17200000000484e-05 × 6371000     		dl = 74.6681200003081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32379480-1.32378308) × R
    1.17200000000484e-05 × 6371000     		dr = 74.6681200003081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74231455--1.74226662) × cos(1.32379480) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.244497593489316 × 6371000     		do = 74.660281477712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74231455--1.74226662) × cos(1.32378308) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.244508957769341 × 6371000     		du = 74.66375169733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32379480)-sin(1.32378308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244497593489316-0.244508957769341)×R²
    abs(-1.74226662--1.74231455)×1.13642800250724e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.13642800250724e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.13642800250724e-05×40589641000000     		ar = 5574.87241395708m²