Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29189 / 43085
↖ ↑ ↗
← S 49.199653°
W 19.660034°		 ← 399.15 m → S 49.199653°
W 19.654541°		 →
↑
399.14 m
↓
↑
399.14 m
↓
S 49.203243°
W 19.660034°		 ← 399.12 m →
159 311 m²		 S 49.203243°
W 19.654541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445396423339844 y=0.657432556152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445396423339844 × 216)
    floor (0.445396423339844 × 65536)
    floor (29189.5)     		tx = 29189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657432556152344 × 216)
    floor (0.657432556152344 × 65536)
    floor (43085.5)     		ty = 43085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29189 / 43085 ti = "16/29189/43085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29189/43085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29189 ÷ 216
    29189 ÷ 65536     		x = 0.445388793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43085 ÷ 216
    43085 ÷ 65536     		y = 0.657424926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445388793945312 × 2 - 1) × π
    -0.109222412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34313233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657424926757812 × 2 - 1) × π
    -0.314849853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.989129986760239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34313233} λ = -0.34313233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.989129986760239))-π/2
    2×atan(0.371900108331092)-π/2
    2×0.356050191175431-π/2
    0.712100382350861-1.57079632675     		φ = -0.85869594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34313233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.660034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85869594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.199653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29189 KachelY 43085 -0.34313233 -0.85869594 -19.660034 -49.199653
    Oben rechts KachelX + 1 29190 KachelY 43085 -0.34303645 -0.85869594 -19.654541 -49.199653
    Unten links KachelX 29189 KachelY + 1 43086 -0.34313233 -0.85875859 -19.660034 -49.203243
    Unten rechts KachelX + 1 29190 KachelY + 1 43086 -0.34303645 -0.85875859 -19.654541 -49.203243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85869594--0.85875859) × R
    6.26499999999419e-05 × 6371000     		dl = 399.14314999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85869594--0.85875859) × R
    6.26499999999419e-05 × 6371000     		dr = 399.14314999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34313233--0.34303645) × cos(-0.85869594) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.653425185297992 × 6371000     		do = 399.145741508522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34313233--0.34303645) × cos(-0.85875859) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.653377758523182 × 6371000     		du = 399.116770792938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85869594)-sin(-0.85875859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653425185297992-0.653377758523182)×R²
    abs(-0.34303645--0.34313233)×4.74267748101775e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74267748101775e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74267748101775e-05×40589641000000     		ar = 159310.506895693m²