Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29189 / 14278
↖ ↑ ↗
← N 70.718099°
W 19.660034°		 ← 201.71 m → N 70.718099°
W 19.654541°		 →
↑
201.77 m
↓
↑
201.77 m
↓
N 70.716285°
W 19.660034°		 ← 201.73 m →
40 701 m²		 N 70.716285°
W 19.654541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445396423339844 y=0.217872619628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445396423339844 × 216)
    floor (0.445396423339844 × 65536)
    floor (29189.5)     		tx = 29189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217872619628906 × 216)
    floor (0.217872619628906 × 65536)
    floor (14278.5)     		ty = 14278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29189 / 14278 ti = "16/29189/14278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29189/14278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29189 ÷ 216
    29189 ÷ 65536     		x = 0.445388793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14278 ÷ 216
    14278 ÷ 65536     		y = 0.217864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445388793945312 × 2 - 1) × π
    -0.109222412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34313233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217864990234375 × 2 - 1) × π
    0.56427001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77270654794968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34313233} λ = -0.34313233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77270654794968))-π/2
    2×atan(5.88676463010354)-π/2
    2×1.40252999600675-π/2
    2.80505999201349-1.57079632675     		φ = 1.23426367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34313233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.660034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23426367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.718099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29189 KachelY 14278 -0.34313233 1.23426367 -19.660034 70.718099
    Oben rechts KachelX + 1 29190 KachelY 14278 -0.34303645 1.23426367 -19.654541 70.718099
    Unten links KachelX 29189 KachelY + 1 14279 -0.34313233 1.23423200 -19.660034 70.716285
    Unten rechts KachelX + 1 29190 KachelY + 1 14279 -0.34303645 1.23423200 -19.654541 70.716285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23426367-1.23423200) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dl = 201.76957000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23426367-1.23423200) × R
    3.16700000000392e-05 × 6371000     		dr = 201.76957000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34313233--0.34303645) × cos(1.23426367) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.330216240040072 × 6371000     		do = 201.713078948498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34313233--0.34303645) × cos(1.23423200) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.330246133355642 × 6371000     		du = 201.731339324556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23426367)-sin(1.23423200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330216240040072-0.330246133355642)×R²
    abs(-0.34303645--0.34313233)×2.98933155706838e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.98933155706838e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.98933155706838e-05×40589641000000     		ar = 40701.4034002226m²