Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29188 / 14270
↖ ↑ ↗
← N 70.732605°
W 19.665527°		 ← 201.55 m → N 70.732605°
W 19.660034°		 →
↑
201.58 m
↓
↑
201.58 m
↓
N 70.730792°
W 19.665527°		 ← 201.56 m →
40 629 m²		 N 70.730792°
W 19.660034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445381164550781 y=0.217750549316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445381164550781 × 216)
    floor (0.445381164550781 × 65536)
    floor (29188.5)     		tx = 29188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217750549316406 × 216)
    floor (0.217750549316406 × 65536)
    floor (14270.5)     		ty = 14270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29188 / 14270 ti = "16/29188/14270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29188/14270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29188 ÷ 216
    29188 ÷ 65536     		x = 0.44537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14270 ÷ 216
    14270 ÷ 65536     		y = 0.217742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34322820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217742919921875 × 2 - 1) × π
    0.56451416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7734735383436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34322820} λ = -0.34322820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7734735383436))-π/2
    2×atan(5.89128145398493)-π/2
    2×1.40265658651998-π/2
    2.80531317303995-1.57079632675     		φ = 1.23451685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34322820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.665527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23451685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.732605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29188 KachelY 14270 -0.34322820 1.23451685 -19.665527 70.732605
    Oben rechts KachelX + 1 29189 KachelY 14270 -0.34313233 1.23451685 -19.660034 70.732605
    Unten links KachelX 29188 KachelY + 1 14271 -0.34322820 1.23448521 -19.665527 70.730792
    Unten rechts KachelX + 1 29189 KachelY + 1 14271 -0.34313233 1.23448521 -19.660034 70.730792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23451685-1.23448521) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dl = 201.578439999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23451685-1.23448521) × R
    3.16399999999994e-05 × 6371000     		dr = 201.578439999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34322820--0.34313233) × cos(1.23451685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329977251512714 × 6371000     		do = 201.546069602175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34322820--0.34313233) × cos(1.23448521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.330007119155836 × 6371000     		du = 201.564312393313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23451685)-sin(1.23448521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329977251512714-0.330007119155836)×R²
    abs(-0.34313233--0.34322820)×2.98676431225164e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98676431225164e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98676431225164e-05×40589641000000     		ar = 40629.1809785406m²