Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29186 / 18106
↖ ↑ ↗
← N 62.446324°
W 19.676514°		 ← 282.54 m → N 62.446324°
W 19.671021°		 →
↑
282.55 m
↓
↑
282.55 m
↓
N 62.443783°
W 19.676514°		 ← 282.56 m →
79 836 m²		 N 62.443783°
W 19.671021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445350646972656 y=0.276283264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445350646972656 × 216)
    floor (0.445350646972656 × 65536)
    floor (29186.5)     		tx = 29186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276283264160156 × 216)
    floor (0.276283264160156 × 65536)
    floor (18106.5)     		ty = 18106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29186 / 18106 ti = "16/29186/18106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29186/18106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29186 ÷ 216
    29186 ÷ 65536     		x = 0.445343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18106 ÷ 216
    18106 ÷ 65536     		y = 0.276275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445343017578125 × 2 - 1) × π
    -0.10931396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34341995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276275634765625 × 2 - 1) × π
    0.44744873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40570164445853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34341995} λ = -0.34341995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40570164445853))-π/2
    2×atan(4.07838731545677)-π/2
    2×1.33034514550748-π/2
    2.66069029101495-1.57079632675     		φ = 1.08989396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34341995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.676514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08989396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.446324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29186 KachelY 18106 -0.34341995 1.08989396 -19.676514 62.446324
    Oben rechts KachelX + 1 29187 KachelY 18106 -0.34332408 1.08989396 -19.671021 62.446324
    Unten links KachelX 29186 KachelY + 1 18107 -0.34341995 1.08984961 -19.676514 62.443783
    Unten rechts KachelX + 1 29187 KachelY + 1 18107 -0.34332408 1.08984961 -19.671021 62.443783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08989396-1.08984961) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dl = 282.553850000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08989396-1.08984961) × R
    4.43500000000263e-05 × 6371000     		dr = 282.553850000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34341995--0.34332408) × cos(1.08989396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462579382192929 × 6371000     		do = 282.537829297591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34341995--0.34332408) × cos(1.08984961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462618701466411 × 6371000     		du = 282.561845028959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08989396)-sin(1.08984961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462579382192929-0.462618701466411)×R²
    abs(-0.34332408--0.34341995)×3.9319273482552e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9319273482552e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9319273482552e-05×40589641000000     		ar = 79835.5443205691m²