Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29185 / 18107
↖ ↑ ↗
← N 62.443783°
W 19.682007°		 ← 282.56 m → N 62.443783°
W 19.676514°		 →
↑
282.55 m
↓
↑
282.55 m
↓
N 62.441242°
W 19.682007°		 ← 282.59 m →
79 842 m²		 N 62.441242°
W 19.676514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445335388183594 y=0.276298522949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445335388183594 × 216)
    floor (0.445335388183594 × 65536)
    floor (29185.5)     		tx = 29185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276298522949219 × 216)
    floor (0.276298522949219 × 65536)
    floor (18107.5)     		ty = 18107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29185 / 18107 ti = "16/29185/18107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29185/18107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29185 ÷ 216
    29185 ÷ 65536     		x = 0.445327758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18107 ÷ 216
    18107 ÷ 65536     		y = 0.276290893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445327758789062 × 2 - 1) × π
    -0.109344482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34351582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276290893554688 × 2 - 1) × π
    0.447418212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.40560577065929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34351582} λ = -0.34351582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40560577065929))-π/2
    2×atan(4.0779963237133)-π/2
    2×1.33032296994381-π/2
    2.66064593988762-1.57079632675     		φ = 1.08984961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34351582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.682007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08984961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.443783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29185 KachelY 18107 -0.34351582 1.08984961 -19.682007 62.443783
    Oben rechts KachelX + 1 29186 KachelY 18107 -0.34341995 1.08984961 -19.676514 62.443783
    Unten links KachelX 29185 KachelY + 1 18108 -0.34351582 1.08980526 -19.682007 62.441242
    Unten rechts KachelX + 1 29186 KachelY + 1 18108 -0.34341995 1.08980526 -19.676514 62.441242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08984961-1.08980526) × R
    4.43499999998043e-05 × 6371000     		dl = 282.553849998753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08984961-1.08980526) × R
    4.43499999998043e-05 × 6371000     		dr = 282.553849998753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34351582--0.34341995) × cos(1.08984961) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.462618701466411 × 6371000     		do = 282.561845029123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34351582--0.34341995) × cos(1.08980526) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.462658019829959 × 6371000     		du = 282.585860204714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08984961)-sin(1.08980526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462618701466411-0.462658019829959)×R²
    abs(-0.34341995--0.34351582)×3.93183635472583e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.93183635472583e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.93183635472583e-05×40589641000000     		ar = 79842.3299788525m²