Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29185 / 17922
↖ ↑ ↗
← N 62.910230°
W 19.682007°		 ← 278.14 m → N 62.910230°
W 19.676514°		 →
↑
278.16 m
↓
↑
278.16 m
↓
N 62.907729°
W 19.682007°		 ← 278.17 m →
77 371 m²		 N 62.907729°
W 19.676514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445335388183594 y=0.273475646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445335388183594 × 216)
    floor (0.445335388183594 × 65536)
    floor (29185.5)     		tx = 29185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273475646972656 × 216)
    floor (0.273475646972656 × 65536)
    floor (17922.5)     		ty = 17922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29185 / 17922 ti = "16/29185/17922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29185/17922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29185 ÷ 216
    29185 ÷ 65536     		x = 0.445327758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17922 ÷ 216
    17922 ÷ 65536     		y = 0.273468017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445327758789062 × 2 - 1) × π
    -0.109344482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34351582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273468017578125 × 2 - 1) × π
    0.45306396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42334242351871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34351582} λ = -0.34351582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42334242351871))-π/2
    2×atan(4.1509715842101)-π/2
    2×1.33439349063286-π/2
    2.66878698126572-1.57079632675     		φ = 1.09799065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34351582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.682007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09799065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.910230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29185 KachelY 17922 -0.34351582 1.09799065 -19.682007 62.910230
    Oben rechts KachelX + 1 29186 KachelY 17922 -0.34341995 1.09799065 -19.676514 62.910230
    Unten links KachelX 29185 KachelY + 1 17923 -0.34351582 1.09794699 -19.682007 62.907729
    Unten rechts KachelX + 1 29186 KachelY + 1 17923 -0.34341995 1.09794699 -19.676514 62.907729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09799065-1.09794699) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dl = 278.157860000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09799065-1.09794699) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dr = 278.157860000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34351582--0.34341995) × cos(1.09799065) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.455385952035487 × 6371000     		do = 278.144170133237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34351582--0.34341995) × cos(1.09794699) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.455424821843085 × 6371000     		du = 278.16791133634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09799065)-sin(1.09794699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455385952035487-0.455424821843085)×R²
    abs(-0.34341995--0.34351582)×3.88698075970972e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.88698075970972e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.88698075970972e-05×40589641000000     		ar = 77371.2890493325m²