Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29183 / 29190
↖ ↑ ↗
← N 70.134765°
W 99.846496°		 ← 103.79 m → N 70.134765°
W 99.843750°		 →
↑
103.78 m
↓
↑
103.78 m
↓
N 70.133832°
W 99.846496°		 ← 103.79 m →
10 772 m²		 N 70.133832°
W 99.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222652435302734 y=0.222705841064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222652435302734 × 217)
    floor (0.222652435302734 × 131072)
    floor (29183.5)     		tx = 29183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222705841064453 × 217)
    floor (0.222705841064453 × 131072)
    floor (29190.5)     		ty = 29190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29183 / 29190 ti = "17/29183/29190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29183/29190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29183 ÷ 217
    29183 ÷ 131072     		x = 0.222648620605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29190 ÷ 217
    29190 ÷ 131072     		y = 0.222702026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222648620605469 × 2 - 1) × π
    -0.554702758789062 × 3.1415926535     		Λ = -1.74265011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222702026367188 × 2 - 1) × π
    0.554595947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74231455359056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74265011} λ = -1.74265011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74231455359056))-π/2
    2×atan(5.71054550191375)-π/2
    2×1.39743944938304-π/2
    2.79487889876608-1.57079632675     		φ = 1.22408257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74265011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.846496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22408257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.134765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29183 KachelY 29190 -1.74265011 1.22408257 -99.846496 70.134765
    Oben rechts KachelX + 1 29184 KachelY 29190 -1.74260217 1.22408257 -99.843750 70.134765
    Unten links KachelX 29183 KachelY + 1 29191 -1.74265011 1.22406628 -99.846496 70.133832
    Unten rechts KachelX + 1 29184 KachelY + 1 29191 -1.74260217 1.22406628 -99.843750 70.133832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22408257-1.22406628) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dl = 103.78359000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22408257-1.22406628) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dr = 103.78359000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74265011--1.74260217) × cos(1.22408257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33980895427443 × 6371000     		do = 103.786401317826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74265011--1.74260217) × cos(1.22406628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339824274884489 × 6371000     		du = 103.79108062649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22408257)-sin(1.22406628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33980895427443-0.339824274884489)×R²
    abs(-1.74260217--1.74265011)×1.53206100585446e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53206100585446e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53206100585446e-05×40589641000000     		ar = 10771.5681400768m²