Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29182 / 22015
↖ ↑ ↗
← N 75.845840°
W 99.849243°		 ← 74.69 m → N 75.845840°
W 99.846496°		 →
↑
74.73 m
↓
↑
74.73 m
↓
N 75.845168°
W 99.849243°		 ← 74.69 m →
5 582 m²		 N 75.845168°
W 99.846496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222644805908203 y=0.167964935302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222644805908203 × 217)
    floor (0.222644805908203 × 131072)
    floor (29182.5)     		tx = 29182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167964935302734 × 217)
    floor (0.167964935302734 × 131072)
    floor (22015.5)     		ty = 22015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29182 / 22015 ti = "17/29182/22015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29182/22015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29182 ÷ 217
    29182 ÷ 131072     		x = 0.222640991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22015 ÷ 217
    22015 ÷ 131072     		y = 0.167961120605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222640991210938 × 2 - 1) × π
    -0.554718017578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74269805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167961120605469 × 2 - 1) × π
    0.664077758789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.08626180836446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74269805} λ = -1.74269805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08626180836446))-π/2
    2×atan(8.05474862135223)-π/2
    2×1.44727798095081-π/2
    2.89455596190161-1.57079632675     		φ = 1.32375964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74269805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.849243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32375964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.845840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29182 KachelY 22015 -1.74269805 1.32375964 -99.849243 75.845840
    Oben rechts KachelX + 1 29183 KachelY 22015 -1.74265011 1.32375964 -99.846496 75.845840
    Unten links KachelX 29182 KachelY + 1 22016 -1.74269805 1.32374791 -99.849243 75.845168
    Unten rechts KachelX + 1 29183 KachelY + 1 22016 -1.74265011 1.32374791 -99.846496 75.845168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32375964-1.32374791) × R
    1.17299999999876e-05 × 6371000     		dl = 74.7318299999209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32375964-1.32374791) × R
    1.17299999999876e-05 × 6371000     		dr = 74.7318299999209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74269805--1.74265011) × cos(1.32375964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.244531686228633 × 6371000     		do = 74.6862712197791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74269805--1.74265011) × cos(1.32374791) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.244543060104282 × 6371000     		du = 74.6897450941657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32375964)-sin(1.32374791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244531686228633-0.244543060104282)×R²
    abs(-1.74265011--1.74269805)×1.13738756485626e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13738756485626e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13738756485626e-05×40589641000000     		ar = 5581.5715286573m²