Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29181 / 43307
↖ ↑ ↗
← S 49.990084°
W 19.703980°		 ← 392.73 m → S 49.990084°
W 19.698486°		 →
↑
392.64 m
↓
↑
392.64 m
↓
S 49.993615°
W 19.703980°		 ← 392.70 m →
154 197 m²		 S 49.993615°
W 19.698486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445274353027344 y=0.660820007324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445274353027344 × 216)
    floor (0.445274353027344 × 65536)
    floor (29181.5)     		tx = 29181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660820007324219 × 216)
    floor (0.660820007324219 × 65536)
    floor (43307.5)     		ty = 43307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29181 / 43307 ti = "16/29181/43307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29181/43307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29181 ÷ 216
    29181 ÷ 65536     		x = 0.445266723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43307 ÷ 216
    43307 ÷ 65536     		y = 0.660812377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445266723632812 × 2 - 1) × π
    -0.109466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34389932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660812377929688 × 2 - 1) × π
    -0.321624755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01041397019154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34389932} λ = -0.34389932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01041397019154))-π/2
    2×atan(0.364068234974824)-π/2
    2×0.349152384476543-π/2
    0.698304768953086-1.57079632675     		φ = -0.87249156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34389932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.703980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87249156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.990084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29181 KachelY 43307 -0.34389932 -0.87249156 -19.703980 -49.990084
    Oben rechts KachelX + 1 29182 KachelY 43307 -0.34380344 -0.87249156 -19.698486 -49.990084
    Unten links KachelX 29181 KachelY + 1 43308 -0.34389932 -0.87255319 -19.703980 -49.993615
    Unten rechts KachelX + 1 29182 KachelY + 1 43308 -0.34380344 -0.87255319 -19.698486 -49.993615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87249156--0.87255319) × R
    6.16299999999237e-05 × 6371000     		dl = 392.644729999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87249156--0.87255319) × R
    6.16299999999237e-05 × 6371000     		dr = 392.644729999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34389932--0.34380344) × cos(-0.87249156) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.642920176304963 × 6371000     		do = 392.728741217717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34389932--0.34380344) × cos(-0.87255319) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.642872970621692 × 6371000     		du = 392.699905556227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87249156)-sin(-0.87255319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642920176304963-0.642872970621692)×R²
    abs(-0.34380344--0.34389932)×4.72056832708789e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72056832708789e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72056832708789e-05×40589641000000     		ar = 154197.209521636m²