Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29181 / 17884
↖ ↑ ↗
← N 63.005134°
W 19.703980°		 ← 277.27 m → N 63.005134°
W 19.698486°		 →
↑
277.27 m
↓
↑
277.27 m
↓
N 63.002640°
W 19.703980°		 ← 277.30 m →
76 881 m²		 N 63.002640°
W 19.698486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445274353027344 y=0.272895812988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445274353027344 × 216)
    floor (0.445274353027344 × 65536)
    floor (29181.5)     		tx = 29181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272895812988281 × 216)
    floor (0.272895812988281 × 65536)
    floor (17884.5)     		ty = 17884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29181 / 17884 ti = "16/29181/17884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29181/17884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29181 ÷ 216
    29181 ÷ 65536     		x = 0.445266723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17884 ÷ 216
    17884 ÷ 65536     		y = 0.27288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445266723632812 × 2 - 1) × π
    -0.109466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34389932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27288818359375 × 2 - 1) × π
    0.4542236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42698562788983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34389932} λ = -0.34389932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42698562788983))-π/2
    2×atan(4.16612200330911)-π/2
    2×1.33522167844212-π/2
    2.67044335688423-1.57079632675     		φ = 1.09964703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34389932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.703980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09964703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.005134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29181 KachelY 17884 -0.34389932 1.09964703 -19.703980 63.005134
    Oben rechts KachelX + 1 29182 KachelY 17884 -0.34380344 1.09964703 -19.698486 63.005134
    Unten links KachelX 29181 KachelY + 1 17885 -0.34389932 1.09960351 -19.703980 63.002640
    Unten rechts KachelX + 1 29182 KachelY + 1 17885 -0.34380344 1.09960351 -19.698486 63.002640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09964703-1.09960351) × R
    4.35200000001856e-05 × 6371000     		dl = 277.265920001183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09964703-1.09960351) × R
    4.35200000001856e-05 × 6371000     		dr = 277.265920001183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34389932--0.34380344) × cos(1.09964703) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.45391066262465 × 6371000     		do = 277.272000052027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34389932--0.34380344) × cos(1.09960351) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.453949440568876 × 6371000     		du = 277.295687616648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09964703)-sin(1.09960351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45391066262465-0.453949440568876)×R²
    abs(-0.34380344--0.34389932)×3.87779442251879e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.87779442251879e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.87779442251879e-05×40589641000000     		ar = 76881.3600740098m²