Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29180 / 19537
↖ ↑ ↗
← N 58.582572°
W 19.709473°		 ← 318.38 m → N 58.582572°
W 19.703980°		 →
↑
318.42 m
↓
↑
318.42 m
↓
N 58.579709°
W 19.709473°		 ← 318.41 m →
101 385 m²		 N 58.579709°
W 19.703980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445259094238281 y=0.298118591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445259094238281 × 216)
    floor (0.445259094238281 × 65536)
    floor (29180.5)     		tx = 29180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298118591308594 × 216)
    floor (0.298118591308594 × 65536)
    floor (19537.5)     		ty = 19537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29180 / 19537 ti = "16/29180/19537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29180/19537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29180 ÷ 216
    29180 ÷ 65536     		x = 0.44525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19537 ÷ 216
    19537 ÷ 65536     		y = 0.298110961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.1094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34399519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298110961914062 × 2 - 1) × π
    0.403778076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26850623774593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34399519} λ = -0.34399519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26850623774593))-π/2
    2×atan(3.55553746593906)-π/2
    2×1.2966275496428-π/2
    2.5932550992856-1.57079632675     		φ = 1.02245877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34399519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.709473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02245877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.582572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29180 KachelY 19537 -0.34399519 1.02245877 -19.709473 58.582572
    Oben rechts KachelX + 1 29181 KachelY 19537 -0.34389932 1.02245877 -19.703980 58.582572
    Unten links KachelX 29180 KachelY + 1 19538 -0.34399519 1.02240879 -19.709473 58.579709
    Unten rechts KachelX + 1 29181 KachelY + 1 19538 -0.34389932 1.02240879 -19.703980 58.579709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02245877-1.02240879) × R
    4.9980000000005e-05 × 6371000     		dl = 318.422580000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02245877-1.02240879) × R
    4.9980000000005e-05 × 6371000     		dr = 318.422580000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34399519--0.34389932) × cos(1.02245877) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.52126923370487 × 6371000     		do = 318.384872824199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34399519--0.34389932) × cos(1.02240879) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.521311885600013 × 6371000     		du = 318.41092408012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02245877)-sin(1.02240879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52126923370487-0.521311885600013)×R²
    abs(-0.34389932--0.34399519)×4.26518951424093e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26518951424093e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26518951424093e-05×40589641000000     		ar = 101385.080312693m²