Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29180 / 17933
↖ ↑ ↗
← N 62.882701°
W 19.709473°		 ← 278.41 m → N 62.882701°
W 19.703980°		 →
↑
278.41 m
↓
↑
278.41 m
↓
N 62.880197°
W 19.709473°		 ← 278.43 m →
77 515 m²		 N 62.880197°
W 19.703980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445259094238281 y=0.273643493652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445259094238281 × 216)
    floor (0.445259094238281 × 65536)
    floor (29180.5)     		tx = 29180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273643493652344 × 216)
    floor (0.273643493652344 × 65536)
    floor (17933.5)     		ty = 17933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29180 / 17933 ti = "16/29180/17933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29180/17933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29180 ÷ 216
    29180 ÷ 65536     		x = 0.44525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17933 ÷ 216
    17933 ÷ 65536     		y = 0.273635864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44525146484375 × 2 - 1) × π
    -0.1094970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34399519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273635864257812 × 2 - 1) × π
    0.452728271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42228781172707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34399519} λ = -0.34399519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42228781172707))-π/2
    2×atan(4.14659622818718)-π/2
    2×1.33415325018182-π/2
    2.66830650036364-1.57079632675     		φ = 1.09751017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34399519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.709473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09751017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.882701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29180 KachelY 17933 -0.34399519 1.09751017 -19.709473 62.882701
    Oben rechts KachelX + 1 29181 KachelY 17933 -0.34389932 1.09751017 -19.703980 62.882701
    Unten links KachelX 29180 KachelY + 1 17934 -0.34399519 1.09746647 -19.709473 62.880197
    Unten rechts KachelX + 1 29181 KachelY + 1 17934 -0.34389932 1.09746647 -19.703980 62.880197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09751017-1.09746647) × R
    4.36999999999799e-05 × 6371000     		dl = 278.412699999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09751017-1.09746647) × R
    4.36999999999799e-05 × 6371000     		dr = 278.412699999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34399519--0.34389932) × cos(1.09751017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455813667976307 × 6371000     		do = 278.405413798763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34399519--0.34389932) × cos(1.09746647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455852563828246 × 6371000     		du = 278.429170909431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09751017)-sin(1.09746647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455813667976307-0.455852563828246)×R²
    abs(-0.34389932--0.34399519)×3.88958519396132e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88958519396132e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88958519396132e-05×40589641000000     		ar = 77514.9101033223m²