Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29179 / 43105
↖ ↑ ↗
← S 49.271389°
W 19.714966°		 ← 398.57 m → S 49.271389°
W 19.709473°		 →
↑
398.57 m
↓
↑
398.57 m
↓
S 49.274973°
W 19.714966°		 ← 398.54 m →
158 851 m²		 S 49.274973°
W 19.709473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445243835449219 y=0.657737731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445243835449219 × 216)
    floor (0.445243835449219 × 65536)
    floor (29179.5)     		tx = 29179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657737731933594 × 216)
    floor (0.657737731933594 × 65536)
    floor (43105.5)     		ty = 43105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29179 / 43105 ti = "16/29179/43105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29179/43105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29179 ÷ 216
    29179 ÷ 65536     		x = 0.445236206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43105 ÷ 216
    43105 ÷ 65536     		y = 0.657730102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445236206054688 × 2 - 1) × π
    -0.109527587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34409107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657730102539062 × 2 - 1) × π
    -0.315460205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.991047462745041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34409107} λ = -0.34409107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991047462745041))-π/2
    2×atan(0.371187682053043)-π/2
    2×0.355424182231787-π/2
    0.710848364463574-1.57079632675     		φ = -0.85994796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34409107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.714966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85994796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.271389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29179 KachelY 43105 -0.34409107 -0.85994796 -19.714966 -49.271389
    Oben rechts KachelX + 1 29180 KachelY 43105 -0.34399519 -0.85994796 -19.709473 -49.271389
    Unten links KachelX 29179 KachelY + 1 43106 -0.34409107 -0.86001052 -19.714966 -49.274973
    Unten rechts KachelX + 1 29180 KachelY + 1 43106 -0.34399519 -0.86001052 -19.709473 -49.274973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85994796--0.86001052) × R
    6.25600000000448e-05 × 6371000     		dl = 398.569760000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85994796--0.86001052) × R
    6.25600000000448e-05 × 6371000     		dr = 398.569760000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34409107--0.34399519) × cos(-0.85994796) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652476905407554 × 6371000     		do = 398.566483333994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34409107--0.34399519) × cos(-0.86001052) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652429495624188 × 6371000     		du = 398.537522997658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85994796)-sin(-0.86001052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652476905407554-0.652429495624188)×R²
    abs(-0.34399519--0.34409107)×4.74097833664811e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74097833664811e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74097833664811e-05×40589641000000     		ar = 158850.776301222m²