Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29179 / 19540
↖ ↑ ↗
← N 58.573981°
W 19.714966°		 ← 318.50 m → N 58.573981°
W 19.709473°		 →
↑
318.49 m
↓
↑
318.49 m
↓
N 58.571117°
W 19.714966°		 ← 318.52 m →
101 441 m²		 N 58.571117°
W 19.709473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445243835449219 y=0.298164367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445243835449219 × 216)
    floor (0.445243835449219 × 65536)
    floor (29179.5)     		tx = 29179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298164367675781 × 216)
    floor (0.298164367675781 × 65536)
    floor (19540.5)     		ty = 19540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29179 / 19540 ti = "16/29179/19540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29179/19540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29179 ÷ 216
    29179 ÷ 65536     		x = 0.445236206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19540 ÷ 216
    19540 ÷ 65536     		y = 0.29815673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445236206054688 × 2 - 1) × π
    -0.109527587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34409107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29815673828125 × 2 - 1) × π
    0.4036865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26821861634821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34409107} λ = -0.34409107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26821861634821))-π/2
    2×atan(3.55451496433718)-π/2
    2×1.29655257634973-π/2
    2.59310515269945-1.57079632675     		φ = 1.02230883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34409107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.714966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02230883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.573981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29179 KachelY 19540 -0.34409107 1.02230883 -19.714966 58.573981
    Oben rechts KachelX + 1 29180 KachelY 19540 -0.34399519 1.02230883 -19.709473 58.573981
    Unten links KachelX 29179 KachelY + 1 19541 -0.34409107 1.02225884 -19.714966 58.571117
    Unten rechts KachelX + 1 29180 KachelY + 1 19541 -0.34399519 1.02225884 -19.709473 58.571117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02230883-1.02225884) × R
    4.99900000001663e-05 × 6371000     		dl = 318.486290001059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02230883-1.02225884) × R
    4.99900000001663e-05 × 6371000     		dr = 318.486290001059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34409107--0.34399519) × cos(1.02230883) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.521397185483479 × 6371000     		do = 318.496242420393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34409107--0.34399519) × cos(1.02225884) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.52143984200447 × 6371000     		du = 318.522299219372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02230883)-sin(1.02225884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521397185483479-0.52143984200447)×R²
    abs(-0.34399519--0.34409107)×4.26565209915575e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.26565209915575e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.26565209915575e-05×40589641000000     		ar = 101440.83601578m²