Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29179 / 17930
↖ ↑ ↗
← N 62.890212°
W 19.714966°		 ← 278.36 m → N 62.890212°
W 19.709473°		 →
↑
278.35 m
↓
↑
278.35 m
↓
N 62.887708°
W 19.714966°		 ← 278.39 m →
77 485 m²		 N 62.887708°
W 19.709473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445243835449219 y=0.273597717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445243835449219 × 216)
    floor (0.445243835449219 × 65536)
    floor (29179.5)     		tx = 29179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273597717285156 × 216)
    floor (0.273597717285156 × 65536)
    floor (17930.5)     		ty = 17930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29179 / 17930 ti = "16/29179/17930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29179/17930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29179 ÷ 216
    29179 ÷ 65536     		x = 0.445236206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17930 ÷ 216
    17930 ÷ 65536     		y = 0.273590087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445236206054688 × 2 - 1) × π
    -0.109527587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34409107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.273590087890625 × 2 - 1) × π
    0.45281982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42257543312479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34409107} λ = -0.34409107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42257543312479))-π/2
    2×atan(4.14778904952236)-π/2
    2×1.33421879267337-π/2
    2.66843758534673-1.57079632675     		φ = 1.09764126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34409107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.714966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09764126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.890212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29179 KachelY 17930 -0.34409107 1.09764126 -19.714966 62.890212
    Oben rechts KachelX + 1 29180 KachelY 17930 -0.34399519 1.09764126 -19.709473 62.890212
    Unten links KachelX 29179 KachelY + 1 17931 -0.34409107 1.09759757 -19.714966 62.887708
    Unten rechts KachelX + 1 29180 KachelY + 1 17931 -0.34399519 1.09759757 -19.709473 62.887708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09764126-1.09759757) × R
    4.36900000000406e-05 × 6371000     		dl = 278.348990000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09764126-1.09759757) × R
    4.36900000000406e-05 × 6371000     		dr = 278.348990000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34409107--0.34399519) × cos(1.09764126) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.455696984099358 × 6371000     		do = 278.363177168608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34409107--0.34399519) × cos(1.09759757) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.455735873661113 × 6371000     		du = 278.386932914963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09764126)-sin(1.09759757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455696984099358-0.455735873661113)×R²
    abs(-0.34399519--0.34409107)×3.88895617555729e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.88895617555729e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.88895617555729e-05×40589641000000     		ar = 77485.4154244741m²