Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29178 / 19538
↖ ↑ ↗
← N 58.579709°
W 19.720459°		 ← 318.41 m → N 58.579709°
W 19.714966°		 →
↑
318.42 m
↓
↑
318.42 m
↓
N 58.576845°
W 19.720459°		 ← 318.44 m →
101 393 m²		 N 58.576845°
W 19.714966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445228576660156 y=0.298133850097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445228576660156 × 216)
    floor (0.445228576660156 × 65536)
    floor (29178.5)     		tx = 29178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298133850097656 × 216)
    floor (0.298133850097656 × 65536)
    floor (19538.5)     		ty = 19538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29178 / 19538 ti = "16/29178/19538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29178/19538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29178 ÷ 216
    29178 ÷ 65536     		x = 0.445220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19538 ÷ 216
    19538 ÷ 65536     		y = 0.298126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.10955810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34418694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298126220703125 × 2 - 1) × π
    0.40374755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26841036394669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34418694} λ = -0.34418694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26841036394669))-π/2
    2×atan(3.55519659939421)-π/2
    2×1.29660256058972-π/2
    2.59320512117944-1.57079632675     		φ = 1.02240879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34418694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.720459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02240879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.579709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29178 KachelY 19538 -0.34418694 1.02240879 -19.720459 58.579709
    Oben rechts KachelX + 1 29179 KachelY 19538 -0.34409107 1.02240879 -19.714966 58.579709
    Unten links KachelX 29178 KachelY + 1 19539 -0.34418694 1.02235881 -19.720459 58.576845
    Unten rechts KachelX + 1 29179 KachelY + 1 19539 -0.34409107 1.02235881 -19.714966 58.576845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02240879-1.02235881) × R
    4.9980000000005e-05 × 6371000     		dl = 318.422580000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02240879-1.02235881) × R
    4.9980000000005e-05 × 6371000     		dr = 318.422580000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34418694--0.34409107) × cos(1.02240879) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.521311885600013 × 6371000     		do = 318.41092408012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34418694--0.34409107) × cos(1.02235881) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.521354536192918 × 6371000     		du = 318.436974540649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02240879)-sin(1.02235881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521311885600013-0.521354536192918)×R²
    abs(-0.34409107--0.34418694)×4.26505929050913e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26505929050913e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26505929050913e-05×40589641000000     		ar = 101393.375494481m²