Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29177 / 30231
↖ ↑ ↗
← N 13.800741°
W 19.725952°		 ← 593.16 m → N 13.800741°
W 19.720459°		 →
↑
593.20 m
↓
↑
593.20 m
↓
N 13.795406°
W 19.725952°		 ← 593.17 m →
351 866 m²		 N 13.795406°
W 19.720459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445213317871094 y=0.461296081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445213317871094 × 216)
    floor (0.445213317871094 × 65536)
    floor (29177.5)     		tx = 29177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461296081542969 × 216)
    floor (0.461296081542969 × 65536)
    floor (30231.5)     		ty = 30231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29177 / 30231 ti = "16/29177/30231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29177/30231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29177 ÷ 216
    29177 ÷ 65536     		x = 0.445205688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30231 ÷ 216
    30231 ÷ 65536     		y = 0.461288452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445205688476562 × 2 - 1) × π
    -0.109588623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34428281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461288452148438 × 2 - 1) × π
    0.077423095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.243231828672165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34428281} λ = -0.34428281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.243231828672165))-π/2
    2×atan(1.27536425585114)-π/2
    2×0.905832346892349-π/2
    1.8116646937847-1.57079632675     		φ = 0.24086837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34428281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.725952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24086837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.800741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29177 KachelY 30231 -0.34428281 0.24086837 -19.725952 13.800741
    Oben rechts KachelX + 1 29178 KachelY 30231 -0.34418694 0.24086837 -19.720459 13.800741
    Unten links KachelX 29177 KachelY + 1 30232 -0.34428281 0.24077526 -19.725952 13.795406
    Unten rechts KachelX + 1 29178 KachelY + 1 30232 -0.34418694 0.24077526 -19.720459 13.795406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24086837-0.24077526) × R
    9.31100000000074e-05 × 6371000     		dl = 593.203810000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24086837-0.24077526) × R
    9.31100000000074e-05 × 6371000     		dr = 593.203810000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34428281--0.34418694) × cos(0.24086837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971131194821591 × 6371000     		do = 593.155056862502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34428281--0.34418694) × cos(0.24077526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971153401631647 × 6371000     		du = 593.168620510495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24086837)-sin(0.24077526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971131194821591-0.971153401631647)×R²
    abs(-0.34418694--0.34428281)×2.22068100558248e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.22068100558248e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.22068100558248e-05×40589641000000     		ar = 351865.86290961m²