Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29177 / 19542
↖ ↑ ↗
← N 58.568252°
W 19.725952°		 ← 318.52 m → N 58.568252°
W 19.720459°		 →
↑
318.55 m
↓
↑
318.55 m
↓
N 58.565388°
W 19.725952°		 ← 318.54 m →
101 467 m²		 N 58.565388°
W 19.720459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445213317871094 y=0.298194885253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445213317871094 × 216)
    floor (0.445213317871094 × 65536)
    floor (29177.5)     		tx = 29177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298194885253906 × 216)
    floor (0.298194885253906 × 65536)
    floor (19542.5)     		ty = 19542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29177 / 19542 ti = "16/29177/19542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29177/19542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29177 ÷ 216
    29177 ÷ 65536     		x = 0.445205688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19542 ÷ 216
    19542 ÷ 65536     		y = 0.298187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445205688476562 × 2 - 1) × π
    -0.109588623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34428281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298187255859375 × 2 - 1) × π
    0.40362548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26802686874973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34428281} λ = -0.34428281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26802686874973))-π/2
    2×atan(3.55383345996951)-π/2
    2×1.2965025839306-π/2
    2.59300516786119-1.57079632675     		φ = 1.02220884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34428281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.725952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02220884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.568252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29177 KachelY 19542 -0.34428281 1.02220884 -19.725952 58.568252
    Oben rechts KachelX + 1 29178 KachelY 19542 -0.34418694 1.02220884 -19.720459 58.568252
    Unten links KachelX 29177 KachelY + 1 19543 -0.34428281 1.02215884 -19.725952 58.565388
    Unten rechts KachelX + 1 29178 KachelY + 1 19543 -0.34418694 1.02215884 -19.720459 58.565388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02220884-1.02215884) × R
    5.00000000001055e-05 × 6371000     		dl = 318.550000000672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02220884-1.02215884) × R
    5.00000000001055e-05 × 6371000     		dr = 318.550000000672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34428281--0.34418694) × cos(1.02220884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.521482505755003 × 6371000     		do = 318.515136784104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34428281--0.34418694) × cos(1.02215884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.52152516820183 × 6371000     		du = 318.541194484864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02220884)-sin(1.02215884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521482505755003-0.52152516820183)×R²
    abs(-0.34418694--0.34428281)×4.26624468268244e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26624468268244e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26624468268244e-05×40589641000000     		ar = 101467.147184108m²