Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29176 / 17975
↖ ↑ ↗
← N 62.777350°
W 19.731445°		 ← 279.43 m → N 62.777350°
W 19.725952°		 →
↑
279.43 m
↓
↑
279.43 m
↓
N 62.774837°
W 19.731445°		 ← 279.46 m →
78 086 m²		 N 62.774837°
W 19.725952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445198059082031 y=0.274284362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445198059082031 × 216)
    floor (0.445198059082031 × 65536)
    floor (29176.5)     		tx = 29176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274284362792969 × 216)
    floor (0.274284362792969 × 65536)
    floor (17975.5)     		ty = 17975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29176 / 17975 ti = "16/29176/17975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29176/17975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29176 ÷ 216
    29176 ÷ 65536     		x = 0.4451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17975 ÷ 216
    17975 ÷ 65536     		y = 0.274276733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34437869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274276733398438 × 2 - 1) × π
    0.451446533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.41826111215898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34437869} λ = -0.34437869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41826111215898))-π/2
    2×atan(4.12993270296664)-π/2
    2×1.33323389181871-π/2
    2.66646778363742-1.57079632675     		φ = 1.09567146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34437869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09567146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.777350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29176 KachelY 17975 -0.34437869 1.09567146 -19.731445 62.777350
    Oben rechts KachelX + 1 29177 KachelY 17975 -0.34428281 1.09567146 -19.725952 62.777350
    Unten links KachelX 29176 KachelY + 1 17976 -0.34437869 1.09562760 -19.731445 62.774837
    Unten rechts KachelX + 1 29177 KachelY + 1 17976 -0.34428281 1.09562760 -19.725952 62.774837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09567146-1.09562760) × R
    4.38599999998956e-05 × 6371000     		dl = 279.432059999335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09567146-1.09562760) × R
    4.38599999998956e-05 × 6371000     		dr = 279.432059999335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34437869--0.34428281) × cos(1.09567146) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.457449486745195 × 6371000     		do = 279.433696003521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34437869--0.34428281) × cos(1.09562760) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.457488488178965 × 6371000     		du = 279.457520087062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09567146)-sin(1.09562760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457449486745195-0.457488488178965)×R²
    abs(-0.34428281--0.34437869)×3.90014337699474e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.90014337699474e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.90014337699474e-05×40589641000000     		ar = 78086.0619265984m²