Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29175 / 43351
↖ ↑ ↗
← S 50.145226°
W 19.736938°		 ← 391.42 m → S 50.145226°
W 19.731445°		 →
↑
391.43 m
↓
↑
391.43 m
↓
S 50.148746°
W 19.736938°		 ← 391.39 m →
153 209 m²		 S 50.148746°
W 19.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445182800292969 y=0.661491394042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445182800292969 × 216)
    floor (0.445182800292969 × 65536)
    floor (29175.5)     		tx = 29175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661491394042969 × 216)
    floor (0.661491394042969 × 65536)
    floor (43351.5)     		ty = 43351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29175 / 43351 ti = "16/29175/43351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29175/43351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29175 ÷ 216
    29175 ÷ 65536     		x = 0.445175170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43351 ÷ 216
    43351 ÷ 65536     		y = 0.661483764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445175170898438 × 2 - 1) × π
    -0.109649658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34447456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661483764648438 × 2 - 1) × π
    -0.322967529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01463241735811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34447456} λ = -0.34447456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01463241735811))-π/2
    2×atan(0.362535667161441)-π/2
    2×0.347798512125014-π/2
    0.695597024250028-1.57079632675     		φ = -0.87519930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34447456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.736938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87519930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.145226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29175 KachelY 43351 -0.34447456 -0.87519930 -19.736938 -50.145226
    Oben rechts KachelX + 1 29176 KachelY 43351 -0.34437869 -0.87519930 -19.731445 -50.145226
    Unten links KachelX 29175 KachelY + 1 43352 -0.34447456 -0.87526074 -19.736938 -50.148746
    Unten rechts KachelX + 1 29176 KachelY + 1 43352 -0.34437869 -0.87526074 -19.731445 -50.148746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87519930--0.87526074) × R
    6.14399999999682e-05 × 6371000     		dl = 391.434239999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87519930--0.87526074) × R
    6.14399999999682e-05 × 6371000     		dr = 391.434239999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34447456--0.34437869) × cos(-0.87519930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640843874013988 × 6371000     		do = 391.419600727156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34447456--0.34437869) × cos(-0.87526074) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640796707083623 × 6371000     		du = 391.390791742941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87519930)-sin(-0.87526074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640843874013988-0.640796707083623)×R²
    abs(-0.34437869--0.34447456)×4.71669303647726e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71669303647726e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71669303647726e-05×40589641000000     		ar = 153209.395568349m²