Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29173 / 43315
↖ ↑ ↗
← S 50.018329°
W 19.747925°		 ← 392.50 m → S 50.018329°
W 19.742431°		 →
↑
392.45 m
↓
↑
392.45 m
↓
S 50.021859°
W 19.747925°		 ← 392.47 m →
154 032 m²		 S 50.021859°
W 19.742431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445152282714844 y=0.660942077636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445152282714844 × 216)
    floor (0.445152282714844 × 65536)
    floor (29173.5)     		tx = 29173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660942077636719 × 216)
    floor (0.660942077636719 × 65536)
    floor (43315.5)     		ty = 43315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29173 / 43315 ti = "16/29173/43315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29173/43315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29173 ÷ 216
    29173 ÷ 65536     		x = 0.445144653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43315 ÷ 216
    43315 ÷ 65536     		y = 0.660934448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445144653320312 × 2 - 1) × π
    -0.109710693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34466631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660934448242188 × 2 - 1) × π
    -0.321868896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01118096058546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34466631} λ = -0.34466631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01118096058546))-π/2
    2×atan(0.36378910519448)-π/2
    2×0.34890590009362-π/2
    0.69781180018724-1.57079632675     		φ = -0.87298453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34466631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.747925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87298453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.018329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29173 KachelY 43315 -0.34466631 -0.87298453 -19.747925 -50.018329
    Oben rechts KachelX + 1 29174 KachelY 43315 -0.34457043 -0.87298453 -19.742431 -50.018329
    Unten links KachelX 29173 KachelY + 1 43316 -0.34466631 -0.87304613 -19.747925 -50.021859
    Unten rechts KachelX + 1 29174 KachelY + 1 43316 -0.34457043 -0.87304613 -19.742431 -50.021859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87298453--0.87304613) × R
    6.1599999999995e-05 × 6371000     		dl = 392.453599999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87298453--0.87304613) × R
    6.1599999999995e-05 × 6371000     		dr = 392.453599999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34466631--0.34457043) × cos(-0.87298453) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.642542516116033 × 6371000     		do = 392.498046932373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34466631--0.34457043) × cos(-0.87304613) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.64249531389487 × 6371000     		du = 392.469213385716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87298453)-sin(-0.87304613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642542516116033-0.64249531389487)×R²
    abs(-0.34457043--0.34466631)×4.72022211628342e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72022211628342e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72022211628342e-05×40589641000000     		ar = 154031.613645604m²