Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29170 / 43343
↖ ↑ ↗
← S 50.117056°
W 19.764404°		 ← 391.65 m → S 50.117056°
W 19.758911°		 →
↑
391.63 m
↓
↑
391.63 m
↓
S 50.120578°
W 19.764404°		 ← 391.62 m →
153 374 m²		 S 50.120578°
W 19.758911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445106506347656 y=0.661369323730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445106506347656 × 216)
    floor (0.445106506347656 × 65536)
    floor (29170.5)     		tx = 29170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661369323730469 × 216)
    floor (0.661369323730469 × 65536)
    floor (43343.5)     		ty = 43343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29170 / 43343 ti = "16/29170/43343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29170/43343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29170 ÷ 216
    29170 ÷ 65536     		x = 0.445098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43343 ÷ 216
    43343 ÷ 65536     		y = 0.661361694335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445098876953125 × 2 - 1) × π
    -0.10980224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34495393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661361694335938 × 2 - 1) × π
    -0.322723388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01386542696419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34495393} λ = -0.34495393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01386542696419))-π/2
    2×atan(0.362813835198076)-π/2
    2×0.348044345027721-π/2
    0.696088690055442-1.57079632675     		φ = -0.87470764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34495393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.764404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87470764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.117056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29170 KachelY 43343 -0.34495393 -0.87470764 -19.764404 -50.117056
    Oben rechts KachelX + 1 29171 KachelY 43343 -0.34485806 -0.87470764 -19.758911 -50.117056
    Unten links KachelX 29170 KachelY + 1 43344 -0.34495393 -0.87476911 -19.764404 -50.120578
    Unten rechts KachelX + 1 29171 KachelY + 1 43344 -0.34485806 -0.87476911 -19.758911 -50.120578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87470764--0.87476911) × R
    6.14700000000079e-05 × 6371000     		dl = 391.62537000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87470764--0.87476911) × R
    6.14700000000079e-05 × 6371000     		dr = 391.62537000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34495393--0.34485806) × cos(-0.87470764) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641221229784041 × 6371000     		do = 391.650085016443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34495393--0.34485806) × cos(-0.87476911) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641174059195149 × 6371000     		du = 391.621273797644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87470764)-sin(-0.87476911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641221229784041-0.641174059195149)×R²
    abs(-0.34485806--0.34495393)×4.71705888921425e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71705888921425e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71705888921425e-05×40589641000000     		ar = 153374.467901235m²