Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29170 / 14255
↖ ↑ ↗
← N 70.759776°
W 19.764404°		 ← 201.27 m → N 70.759776°
W 19.758911°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
N 70.757966°
W 19.764404°		 ← 201.29 m →
40 523 m²		 N 70.757966°
W 19.758911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445106506347656 y=0.217521667480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445106506347656 × 216)
    floor (0.445106506347656 × 65536)
    floor (29170.5)     		tx = 29170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217521667480469 × 216)
    floor (0.217521667480469 × 65536)
    floor (14255.5)     		ty = 14255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29170 / 14255 ti = "16/29170/14255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29170/14255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29170 ÷ 216
    29170 ÷ 65536     		x = 0.445098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14255 ÷ 216
    14255 ÷ 65536     		y = 0.217514038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445098876953125 × 2 - 1) × π
    -0.10980224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34495393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217514038085938 × 2 - 1) × π
    0.564971923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.7749116453322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34495393} λ = -0.34495393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7749116453322))-π/2
    2×atan(5.89975984196902)-π/2
    2×1.40289369682757-π/2
    2.80578739365515-1.57079632675     		φ = 1.23499107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34495393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.764404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23499107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.759776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29170 KachelY 14255 -0.34495393 1.23499107 -19.764404 70.759776
    Oben rechts KachelX + 1 29171 KachelY 14255 -0.34485806 1.23499107 -19.758911 70.759776
    Unten links KachelX 29170 KachelY + 1 14256 -0.34495393 1.23495947 -19.764404 70.757966
    Unten rechts KachelX + 1 29171 KachelY + 1 14256 -0.34485806 1.23495947 -19.758911 70.757966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23499107-1.23495947) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dl = 201.323600000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23499107-1.23495947) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dr = 201.323600000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34495393--0.34485806) × cos(1.23499107) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329529556017428 × 6371000     		do = 201.27262266897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34495393--0.34485806) × cos(1.23495947) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329559390843107 × 6371000     		du = 201.290845415615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23499107)-sin(1.23495947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329529556017428-0.329559390843107)×R²
    abs(-0.34485806--0.34495393)×2.98348256790315e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98348256790315e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98348256790315e-05×40589641000000     		ar = 40522.7633149507m²