Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29169 / 40817
↖ ↑ ↗
← S 40.384213°
W 19.769897°		 ← 465.25 m → S 40.384213°
W 19.764404°		 →
↑
465.21 m
↓
↑
465.21 m
↓
S 40.388397°
W 19.769897°		 ← 465.22 m →
216 431 m²		 S 40.388397°
W 19.764404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445091247558594 y=0.622825622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445091247558594 × 216)
    floor (0.445091247558594 × 65536)
    floor (29169.5)     		tx = 29169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622825622558594 × 216)
    floor (0.622825622558594 × 65536)
    floor (40817.5)     		ty = 40817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29169 / 40817 ti = "16/29169/40817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29169/40817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29169 ÷ 216
    29169 ÷ 65536     		x = 0.445083618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40817 ÷ 216
    40817 ÷ 65536     		y = 0.622817993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445083618164062 × 2 - 1) × π
    -0.109832763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34504980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622817993164062 × 2 - 1) × π
    -0.245635986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.771688210083664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34504980} λ = -0.34504980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.771688210083664))-π/2
    2×atan(0.462232064415255)-π/2
    2×0.432979424090729-π/2
    0.865958848181458-1.57079632675     		φ = -0.70483748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34504980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.769897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70483748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.384213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29169 KachelY 40817 -0.34504980 -0.70483748 -19.769897 -40.384213
    Oben rechts KachelX + 1 29170 KachelY 40817 -0.34495393 -0.70483748 -19.764404 -40.384213
    Unten links KachelX 29169 KachelY + 1 40818 -0.34504980 -0.70491050 -19.769897 -40.388397
    Unten rechts KachelX + 1 29170 KachelY + 1 40818 -0.34495393 -0.70491050 -19.764404 -40.388397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70483748--0.70491050) × R
    7.30199999999792e-05 × 6371000     		dl = 465.210419999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70483748--0.70491050) × R
    7.30199999999792e-05 × 6371000     		dr = 465.210419999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34504980--0.34495393) × cos(-0.70483748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.761716860161446 × 6371000     		do = 465.247342389401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34504980--0.34495393) × cos(-0.70491050) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.761669547739378 × 6371000     		du = 465.218444540633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70483748)-sin(-0.70491050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761716860161446-0.761669547739378)×R²
    abs(-0.34495393--0.34504980)×4.73124220681242e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73124220681242e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73124220681242e-05×40589641000000     		ar = 216431.189862797m²