Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29169 / 14254
↖ ↑ ↗
← N 70.761586°
W 19.769897°		 ← 201.25 m → N 70.761586°
W 19.764404°		 →
↑
201.26 m
↓
↑
201.26 m
↓
N 70.759776°
W 19.769897°		 ← 201.27 m →
40 506 m²		 N 70.759776°
W 19.764404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445091247558594 y=0.217506408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445091247558594 × 216)
    floor (0.445091247558594 × 65536)
    floor (29169.5)     		tx = 29169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217506408691406 × 216)
    floor (0.217506408691406 × 65536)
    floor (14254.5)     		ty = 14254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29169 / 14254 ti = "16/29169/14254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29169/14254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29169 ÷ 216
    29169 ÷ 65536     		x = 0.445083618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14254 ÷ 216
    14254 ÷ 65536     		y = 0.217498779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445083618164062 × 2 - 1) × π
    -0.109832763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34504980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217498779296875 × 2 - 1) × π
    0.56500244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77500751913144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34504980} λ = -0.34504980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77500751913144))-π/2
    2×atan(5.9003255014752)-π/2
    2×1.40290949273804-π/2
    2.80581898547607-1.57079632675     		φ = 1.23502266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34504980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.769897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23502266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.761586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29169 KachelY 14254 -0.34504980 1.23502266 -19.769897 70.761586
    Oben rechts KachelX + 1 29170 KachelY 14254 -0.34495393 1.23502266 -19.764404 70.761586
    Unten links KachelX 29169 KachelY + 1 14255 -0.34504980 1.23499107 -19.769897 70.759776
    Unten rechts KachelX + 1 29170 KachelY + 1 14255 -0.34495393 1.23499107 -19.764404 70.759776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23502266-1.23499107) × R
    3.15900000000813e-05 × 6371000     		dl = 201.259890000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23502266-1.23499107) × R
    3.15900000000813e-05 × 6371000     		dr = 201.259890000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34504980--0.34495393) × cos(1.23502266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32949973030425 × 6371000     		do = 201.25440548813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34504980--0.34495393) × cos(1.23499107) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329529556017428 × 6371000     		du = 201.27262266897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23502266)-sin(1.23499107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32949973030425-0.329529556017428)×R²
    abs(-0.34495393--0.34504980)×2.98257131773894e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98257131773894e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98257131773894e-05×40589641000000     		ar = 40506.2727079442m²