Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29167 / 19248
↖ ↑ ↗
← N 59.400365°
W 19.780884°		 ← 310.91 m → N 59.400365°
W 19.775391°		 →
↑
310.97 m
↓
↑
310.97 m
↓
N 59.397569°
W 19.780884°		 ← 310.94 m →
96 688 m²		 N 59.397569°
W 19.775391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445060729980469 y=0.293708801269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445060729980469 × 216)
    floor (0.445060729980469 × 65536)
    floor (29167.5)     		tx = 29167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293708801269531 × 216)
    floor (0.293708801269531 × 65536)
    floor (19248.5)     		ty = 19248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29167 / 19248 ti = "16/29167/19248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29167/19248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29167 ÷ 216
    29167 ÷ 65536     		x = 0.445053100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19248 ÷ 216
    19248 ÷ 65536     		y = 0.293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445053100585938 × 2 - 1) × π
    -0.109893798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34524155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293701171875 × 2 - 1) × π
    0.41259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29621376572632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34524155} λ = -0.34524155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29621376572632))-π/2
    2×atan(3.65543011838339)-π/2
    2×1.30376413768487-π/2
    2.60752827536973-1.57079632675     		φ = 1.03673195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34524155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.780884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03673195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.400365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29167 KachelY 19248 -0.34524155 1.03673195 -19.780884 59.400365
    Oben rechts KachelX + 1 29168 KachelY 19248 -0.34514568 1.03673195 -19.775391 59.400365
    Unten links KachelX 29167 KachelY + 1 19249 -0.34524155 1.03668314 -19.780884 59.397569
    Unten rechts KachelX + 1 29168 KachelY + 1 19249 -0.34514568 1.03668314 -19.775391 59.397569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03673195-1.03668314) × R
    4.88100000000102e-05 × 6371000     		dl = 310.968510000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03673195-1.03668314) × R
    4.88100000000102e-05 × 6371000     		dr = 310.968510000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34524155--0.34514568) × cos(1.03673195) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.509035929098899 × 6371000     		do = 310.912919984188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34524155--0.34514568) × cos(1.03668314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.50907794146923 × 6371000     		du = 310.938580626175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03673195)-sin(1.03668314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509035929098899-0.50907794146923)×R²
    abs(-0.34514568--0.34524155)×4.20123703310793e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20123703310793e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20123703310793e-05×40589641000000     		ar = 96688.1173123391m²